Przekształcenie liniowe

[lolnaz]

Witam, mam mały problem z przekształceniami liniowymi w których przekształca się wielomian. Czy mógłbym prosić o jakąś wskazówkę
Zadanie brzmi tak :
Wyznacz bazę oraz wymiar jądra i wymar obrazu przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \varphi}\).

1.\(\displaystyle{ \varphi : \RR _{2}[x] \rightarrow \RR ^{3}, \varphi(ax^2+bx+c) = (2c-a-3b,a-b,c-2a)}\)

2.\(\displaystyle{ \varphi : \RR _{2}[x] \rightarrow \RR ^{2}, \varphi(w) = (w(3),w'(1))}\)

W pierwszym z definicji jądra, doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ \begin{cases} 2c-a-3b=0 \\a=b\\c=2a \end{cases}}\) jednak po podstawieniu do \(\displaystyle{ \varphi(ax^2+bx+c)}\) niewiele mi to dało.

A co do drugiego, to nie mam nawet pomysłu.

Plus, chciałbym korzystać z tego, że jeżeli przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f : V \rightarrow W}\) to \(\displaystyle{ \dim \Im f = \dim V - \dim \ker f}\) jednak nie wiem jakie jest \(\displaystyle{ \dim\RR _{2}[x]}\).

Pozdrawiam i proszę o pomoc!

//EDIT: Błąd przy przepisywaniu równania poprawiony.

[Premislav]

Źle masz (w treści lub w rozwiązaniu).

W pierwszym z definicji jądra, doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ \begin{cases} 2c-a-3b=0 \\a=b\\c=2a \end{cases}}\)

Powinno być w trzecim równaniu \(\displaystyle{ c=a}\) (albo w treści trzecia współrzędna równa \(\displaystyle{ c-2a}\)).
EDIT: żeby nie poprzestać na wytykaniu potknięć rachunkowych, poczytaj o metodach rozwiązywania układów równań liniowych, jakieś podstawianie, metoda eliminacji Gaussa, itd. A tu akurat widać, że musi być \(\displaystyle{ a=b=c}\) z dwóch ostatnich równań i wystarczy to podstawić do pierwszego równania.

[lolnaz]

Oczywiście błąd przy przepisywaniu, powinno być:
1.\(\displaystyle{ \varphi : \RR _{2}[x] \rightarrow \RR ^{3}, \varphi(ax^2+bx+c) = (2c-a-3b,a-b,c-2a)}\)

[Kacperdev]

jakieś wnioski co do jądra?

[lolnaz]

Chyba tak.
\(\displaystyle{ r(A)=r(A|b) = 2}\), czyli \(\displaystyle{ \dim \ker \varphi = 2}\).

[Kacperdev]

rząd układu równań dobrze policzyłeś, ale to nie oznacza, że jądro jest dwuwymiarowe. Z tego, że rząd jest \(\displaystyle{ 2}\) oznacza, że jedno z równań jest niepotrzebne. Pierwsze można wygenerować z drugiego i trzeciego więc jest zbędne.

Czyli tak naprawdę interesuje nas układ złożony z dwóch ostatnich równań, ale parametryzując jedną zmienną - np. \(\displaystyle{ c=t}\).

Może teraz wykombinujesz.

[lolnaz]

Macierz wyszła taka \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&0&1\\0&-1&\frac{1}{2}\\0&0&0\end{array}\right]}\)
Zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} b=\frac{c}{2} \\a=\frac{c}{2} \end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ a=b=\frac{1}{2c}}\) i jednocześnie rząd jest mniejszy od ilości szukanych niewiadomych, to będzie chyba nieskończenie wiele takich trójek, zależnych od jednego parametru \(\displaystyle{ \left(\frac{c}{2},\frac{c}{2},c\right)}\), czyli \(\displaystyle{ \dim \ker \vaphir=1}\), a baza \(\displaystyle{ B=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1 \right\} ?}\)

EDIT: Baza to zbiór!

[Kacperdev]

O! Teraz dobrze.

Techniczne przyczepie się do bazy. Baza to zbiór!
Ale nie zbiór złożony ze współrzędnych, tylko z wektorów bazowych. (w tym wypadku z jednego)

lolnaz,

Ukryta treść:    

Ostatni raz zwracam uwagę żebyś nie edytował postów na które ktoś odpowiedział

[lolnaz]

Zatem można stwierdzić, że \(\displaystyle{ \dim \Im\varphi=2?}\)

Co do drugiego zadania. Wiadomo, że \(\displaystyle{ w=ax^2+bx+c}\), ponieważ \(\displaystyle{ w \in \RR _{2} [x]}\)
zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} w(3)=0\\ w'(1)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9a+3b+c=0 \\ 2a+b=0 \end{cases}}\).
Zatem macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\9&3&1\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&-1,5&1\end{array}\right]}\).
A zatem\(\displaystyle{ \begin{cases} c=1,5b\\ a=-b/2 \end{cases}}\)
Baza \(\displaystyle{ B = (-1/2,1,3/2)}\) tak?(nie wiem jak to zapisać, łotewa).

[Kacperdev]

1. Tak (jaka będzie baza obrazu?).

2. Układ ok.

\(\displaystyle{ B=\left\{ \left( -\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right) \right\}}\)

Wskazówka praktyczna: lepiej unikać ułamków o ile to możliwe, więc lepszą bazą jądra będzie:

\(\displaystyle{ B=\left\{ \left( -1,2,3\right) \right\}}\)

Na razie masz tylko jądra przekształceń i wymiary obrazów. Brakuje Ci jeszcze baz obrazów.

edit. Faktycznie nie ma tego w poleceniu, ale to ciekawe cwiczenie.

[lolnaz]

Nie wiem za bardzo jak to zrobić, ale jeżeli \(\displaystyle{ \varphi: V \rightarrow W}\) to nie wystarczy przekształcić jakiejkolwiek bazy \(\displaystyle{ V}\)?

Tylko jeżeli bazą \(\displaystyle{ \RR_{2}[x]}\) jest \(\displaystyle{ B=\left\{ (1,x,x^2)\right\}}\) to nie wiem jak to przekształcić.

[Kacperdev]

Na wielomiany stopnia drugiego możesz popatrzeć jak na trójelementowe ciągi. Cały czas to robiliśmy.

W końcu nasza baza: \(\displaystyle{ B=\left\{ \left( -1,2,3\right) \right\}}\) to tak naprawdę \(\displaystyle{ B=\left\{-x^{2}+2x+3 \right\}}\)

(mogliśmy to trakować zamienie gdyż \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ \RR_{2}[x]}\) )
Obraz wyznacza się z samej postaci obrazu.

Dla pierwszego:

\(\displaystyle{ v \in \Im \varphi \Leftrightarrow \exists_{a,b,c} \ v = (2c-a-3b,a-b,c-2a)}\)

wystarczy więc postac obrazu rozpisać na kombinację liniową.

jeżeli \(\displaystyle{ \varphi: V \rightarrow W}\) to nie wystarczy przekształcić jakiejkolwiek bazy \(\displaystyle{ V}\)?

Oczywiście, że nie. Jedynie jakby \(\displaystyle{ \varphi: V \rightarrow W}\) było izomorfizmem to w wyniku przeksztacenia wektorów bazowych \(\displaystyle{ V}\) otrzymamy wektory bazowe \(\displaystyle{ W}\). Ale z naszym zadaniem to nie ma związku. Bo nie szukamy bazy całego \(\displaystyle{ W}\) lecz \(\displaystyle{ \Im \varphi \subseteq W}\)