Cześć. O ile się nie mylę, definicja macierzy idempotentnej wygląda następująco:
\(\displaystyle{ A^{2} = A}\)
I teraz mam takie zadanie: Wykazać, że macierz \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right]}\) jest macierzą idempotentną.
No ale:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8&4\\16&8\end{array}\right]}\)
I mi się wydaje, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] \neq 4 \cdot \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right]}\)
To czy w zadaniu jest błąd, czy ja coś źle rozumuję?
Poprawność macierzy idempotentnej
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 18 mar 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
Poprawność macierzy idempotentnej
Jest idempotentna, jeśli działanie rozważymy w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Pewnie to miałeś napisane w zadaniu.
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 18 mar 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
Poprawność macierzy idempotentnej
Nie. To jest cała treść zadania skopiowana znak w znak. Zatem treść zadania jest błędna?
Poprawność macierzy idempotentnej
No to nad \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest idempotentna. Jest nią nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Macierze z reguły rozważa się nad ciałami. Macierze nad pierścieniami to osobna historia.
Oczywiście nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\) byłoby \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix}}\), co chyba przekonuje mnie, że nie chodziło wyjściowo o \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Sprawdź idempotentność tej macierzy nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\).
Oczywiście nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\) byłoby \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix}}\), co chyba przekonuje mnie, że nie chodziło wyjściowo o \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Sprawdź idempotentność tej macierzy nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\).