Poprawność macierzy idempotentnej

[xxxtaruoxxx]

Cześć. O ile się nie mylę, definicja macierzy idempotentnej wygląda następująco:

\(\displaystyle{ A^{2} = A}\)

I teraz mam takie zadanie: Wykazać, że macierz \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right]}\) jest macierzą idempotentną.

No ale:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8&4\\16&8\end{array}\right]}\)

I mi się wydaje, że:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] \neq 4 \cdot \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right]}\)

To czy w zadaniu jest błąd, czy ja coś źle rozumuję?

[szw1710]

Jest idempotentna, jeśli działanie rozważymy w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Pewnie to miałeś napisane w zadaniu.

[xxxtaruoxxx]

Nie. To jest cała treść zadania skopiowana znak w znak. Zatem treść zadania jest błędna?

[szw1710]

No to nad \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest idempotentna. Jest nią nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Macierze z reguły rozważa się nad ciałami. Macierze nad pierścieniami to osobna historia.

Oczywiście nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\) byłoby \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&1\\1&2\end{bmatrix}}\), co chyba przekonuje mnie, że nie chodziło wyjściowo o \(\displaystyle{ \ZZ_3}\). Sprawdź idempotentność tej macierzy nad \(\displaystyle{ \ZZ_3}\).