podprzestrzeń liniowa

[matematyczka1]

Udowodnić że przestrzeń \(\displaystyle{ I_{ \infty }}\) wszystkich ograniczonych ciągów nieskończonych o wyrazach z ciała \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M(N,K)}\)

[sebnorth]

Na wikipedii czytam:

Podzbiór \(\displaystyle{ U}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich \(\displaystyle{ \mathbf u, \mathbf v \in U}\) i \(\displaystyle{ a \in K}\) spełnione są warunki:

\(\displaystyle{ a\mathbf u \in U}\),

\(\displaystyle{ \mathbf u + \mathbf v \in U}\)

sprawdźmy drugi warunek:

weźmy ciągi ograniczone \(\displaystyle{ (a_n), (b_n)}\) i ich ograniczenia \(\displaystyle{ M_1, M_2}\) (\(\displaystyle{ K}\) przyjmijmy jakieś ciało z normą)

\(\displaystyle{ (a_n) + (b_n) = (a_n +b_n)}\)

\(\displaystyle{ |a_n +b_n| \leq |a_n| + |b_n| \leq M_1 + M_2}\) (dla każdego \(\displaystyle{ n}\))

Zatem \(\displaystyle{ (a_n) + (b_n) \in I_{ \infty }}\)