Macierze z parametrem - wymiary, równość podprzestrzeni

[jaklan]

Niech \(\displaystyle{ W _{1} ,W _{2}}\) beda nastepujacymi podprzestrzeniami w \(\displaystyle{ \RR ^{5}}\).
\(\displaystyle{ W _{1} = L((10, 3, 9 + s, 1, 2 - s), (4, 1, 6, 1, 1), (2, 1,-1,-1,-2))}\),
\(\displaystyle{ W _{2}}\) jest przestrzenia rozwiazan układu równan:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x _{1} - 11x _{2} + tx _{3} - 8x _{4} + x _{5} = 0 \\ 2x _{1} - 4x _{2} - x _{3} + 3x _{4} - x _{5} = 0 \\ x _{1} - 5x _{2} + x _{3} - 6x _{4} + x _{5} = 0 \end{cases}}\)

Znalezc \(\displaystyle{ \dim (W _{1})}\) oraz \(\displaystyle{ \dim (W _{2})}\) w zaleznosci od \(\displaystyle{ s, t \in \RR}\). Znalezc wszystkie takie \(\displaystyle{ s, t}\) dla których \(\displaystyle{ W _{1} = W _{2}}\).

Mógłby ktoś przedstawić wzorcowe rozwiązanie, krok po kroku, jak robić tego typu zadania na tym przykładzie?

[Kacperdev]

W czym konkretnie problem?

Proponuje zacząć od sprawdzenia rzędu układu równań. Z tego co tu widać układ ten składa się z trzech niezależnych równań (będzie rzedu \(\displaystyle{ 3}\)) niezaleznie od parametru \(\displaystyle{ t}\).

następnie wyznacz po jednej zmiennej z układu.
Najlepiej wyznaczyć \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{4}}\) bo wyznacznik złożony z kolumn zawierajacych te zmienne jest niezerwy (niezależnie od parametru \(\displaystyle{ t}\))

Następnie stwórz postać taką jak jest przedstawiona \(\displaystyle{ W_{1}}\)

To będzie pierwszy etap zadania.

[jaklan]

Hm, mi wyszło ze \(\displaystyle{ \dim(W_{2})}\) jest zależny od \(\displaystyle{ t}\):
gdy \(\displaystyle{ t=1}\) to przy rozw. układu równań dostaniemy jeden wiersz zerowy i koniec końców \(\displaystyle{ \dim(W_{2}) = 3}\), w przeciwnym razie \(\displaystyle{ 2}\).

[Kacperdev]

Pokaż w jaki sposób liczysz. Być może nie rozumiemy się. Ja mówie o układzie a ty od razu o przestrzeni.