podprzestrzen wektorowa

[dawhyp]

witam kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac - nigdy nie robilem takiego przykladu:

Sprawdź, czy poniższy podzbiór jest podprzestrzenią wektorową \(\displaystyle{ R^{3}}\)

\(\displaystyle{ \{(x,y,z) \in R^3 : \exists_{\lambda \in R} x=3 \lambda, y= - \lambda, z=5 \lambda\}}\)

No to, że wektor zerowy tam należy jest dla \(\displaystyle{ \lambda = 0}\). Ale co z drugim warunkiem i trzecim? Nie wiem jak to zapisać.

[Kacperdev]

niech \(\displaystyle{ V = \{(x,y,z) \in R^3 : \exists_{\lambda \in R} x=3 \lambda, y= - \lambda, z=5 \lambda\}}\)

zatem, każdy wektor postaci:
\(\displaystyle{ \left( 3 \lambda, -\lambda, 5\lambda\right) \in V}\)

[dawhyp]

No tak, czyli sprawdzam drugi warunek,

Jeżeli \(\displaystyle{ (a,b,c) \in V}\) oraz \(\displaystyle{ (d,e,f) \in V}\) to czy \(\displaystyle{ (a+d, b+e, c+f) \in V}\)?

Skoro \(\displaystyle{ (a,b,c) \in V}\) to \(\displaystyle{ a= 3 \lambda , b= - \lambda, c = 5 \lambda}\) oraz \(\displaystyle{ d = 3 \lambda, e = - \lambda, f = 5 \lambda}\).

To jak zapisać sumę tego? Bo taki dziwny przykład :/

[Kacperdev]

zapis niezbyt fortunny:
weźmy \(\displaystyle{ v_{1} \in V}\) tzn. \(\displaystyle{ \exists_{\lambda_{1}}}\) tż. \(\displaystyle{ v_{1} = \left( 3 \lambda_{1}, -\lambda_{1}, 5\lambda_{1}\right)}\)


analogicznie \(\displaystyle{ v_{2} = \left( 3 \lambda_{2}, -\lambda_{2}, 5\lambda_{2}\right)}\)

i teraz dla takich wektorów działaj.

[dawhyp]

Czyli \(\displaystyle{ v_{1} + v_{2} = (3 \lambda_{1} + 3 \lambda_{2}, - \lambda_{1} - \lambda_{2}, 5 \lambda_{1} + 5 \lambda_{2}) = (3(\lambda_{1} + \lambda_{2}), -(\lambda_{1} + \lambda_{2}), 5(\lambda_{1} + \lambda_{2}))}\)

A wiec istnieje taka \(\displaystyle{ \lambda}\), że suma tych wektorów należy do tej podprzestrzeni. Dobrze zrobiłem?

I teraz trzeci warunek, że dla każdego skalaru \(\displaystyle{ \alpha v \in V}\)

\(\displaystyle{ \alpha v = \alpha(3 \lambda, - \lambda, 5 \lambda ) = (3 \alpha \lambda, - \alpha \lambda, 5 \alpha \lambda )}\)

Coś się chyba pogubiłem. Skoro tak, to oznacza, że istnieje taka \(\displaystyle{ \lambda}\) że ten wektor należy do V tak?

[Kacperdev]

Pierwsze dobrze.

\(\displaystyle{ \lambda^{''}= \lambda_{1}+ \lambda_{2}}\)

Drugie też, tylko zabrakło komentarza.

To nasze \(\displaystyle{ \lambda^{'}=\alpha \cdot \lambda}\)

\(\displaystyle{ \lambda^{'}}\) jako iloczyn liczb rzeczywistych sama jest rzeczywista, więc ok.