Przestrzenie i odwzorowania liniowe
-
ka79zik
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 20 paź 2014, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
Przestrzenie i odwzorowania liniowe
Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową oraz niech \(\displaystyle{ f , f_{1} , f_{2}, ..., f_{k}}\) będą odwzorowaniami liniowymi z \(\displaystyle{ V}\) do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) . Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f(v) = 0}\), jeśli \(\displaystyle{ f_{1}(v) = ... = f_{k}(v) = 0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ f}\)jest kombinacją liniową odwzorowań \(\displaystyle{ f_{1}, ... , f_{k}.}\)
Ostatnio zmieniony 23 lis 2014, o 16:49 przez ka79zik, łącznie zmieniany 1 raz.
-
szw1710
Przestrzenie i odwzorowania liniowe
Coś nie tak w sformułowaniu zadania. Niech \(\displaystyle{ V=\RR}\), \(\displaystyle{ f_1(x)=x}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\). Wtedy \(\displaystyle{ f_1(x)=0\iff x=0}\). Więc jeśli \(\displaystyle{ f_1(x)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=0}\), ale \(\displaystyle{ f}\) nie jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ f_1}\).
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Przestrzenie i odwzorowania liniowe
Jasne jest, że zakładamy liniowość \(\displaystyle{ f}\). Ponadto \(\displaystyle{ v\neq 0}\) w treści zadania.
Oznaczmy \(\displaystyle{ f=f_0}\).
Możemy pokazać to przez kontrapozycję: jeżeli \(\displaystyle{ f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n}\) są liniowo niezależne, to
\(\displaystyle{ \bigcap_{k=0}^n \ker f_k = \{0\}}\).
Dowiedziemy tego przez kontrapozycję. Załóżmy, że część wspólna jąder funkcjonałów \(\displaystyle{ f_0, f_1, \ldots, f_n}\) jest puste, ale one same są liniowo zależne. Mamy zatem
\(\displaystyle{ c_0f_0+\cdots+c_nf_n=0}\)
dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ c_i}\), gdzie przynajmniej jeden z nich jest niezerowy.
Bez straty ogólności możemy napisać, iż
\(\displaystyle{ f_n=d_0f_0+\cdots+d_{n-1}f_{n-1},}\)
dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ d_0,\ldots,d_{n-1}}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \bigcap_{j=0}^{n-1}\mathrm{ker}\,f_j\subset\mathrm{ker}\,f_n,}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \bigcap_{j=0}^{n-1}\mathrm{ker}\,f_j=\bigcap_{j=0}^{n}\mathrm{ker}\,f_j.}\)
Gdy \(\displaystyle{ f_j\neq 0}\), przestrzeń \(\displaystyle{ \mathrm{ker}\,f_j}\) jest \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarowa skąd
\(\displaystyle{ \dim \bigcap_{j=0}^{n-1}\mathrm{ker}\,f_j\geqslant 1}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \bigcap_{j=0}^{n}\mathrm{ker}\,f_j\ne\{0\},}\)
sprzeczność.
Oznaczmy \(\displaystyle{ f=f_0}\).
Możemy pokazać to przez kontrapozycję: jeżeli \(\displaystyle{ f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n}\) są liniowo niezależne, to
\(\displaystyle{ \bigcap_{k=0}^n \ker f_k = \{0\}}\).
Dowiedziemy tego przez kontrapozycję. Załóżmy, że część wspólna jąder funkcjonałów \(\displaystyle{ f_0, f_1, \ldots, f_n}\) jest puste, ale one same są liniowo zależne. Mamy zatem
\(\displaystyle{ c_0f_0+\cdots+c_nf_n=0}\)
dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ c_i}\), gdzie przynajmniej jeden z nich jest niezerowy.
Bez straty ogólności możemy napisać, iż
\(\displaystyle{ f_n=d_0f_0+\cdots+d_{n-1}f_{n-1},}\)
dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ d_0,\ldots,d_{n-1}}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \bigcap_{j=0}^{n-1}\mathrm{ker}\,f_j\subset\mathrm{ker}\,f_n,}\)
a stąd
\(\displaystyle{ \bigcap_{j=0}^{n-1}\mathrm{ker}\,f_j=\bigcap_{j=0}^{n}\mathrm{ker}\,f_j.}\)
Gdy \(\displaystyle{ f_j\neq 0}\), przestrzeń \(\displaystyle{ \mathrm{ker}\,f_j}\) jest \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarowa skąd
\(\displaystyle{ \dim \bigcap_{j=0}^{n-1}\mathrm{ker}\,f_j\geqslant 1}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \bigcap_{j=0}^{n}\mathrm{ker}\,f_j\ne\{0\},}\)
sprzeczność.