Niech \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) będą rzeczywistymi macierzami n x n takimi, że \(\displaystyle{ AB + A + B = 0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ AB = BA}\).
Z góry dziękuję za pomoc.
Równanie macierzowe
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Równanie macierzowe
Może coś takiego:
\(\displaystyle{ AB + A + B + 1 = 1}\)
\(\displaystyle{ (A+1)(B+1) = 1}\)
\(\displaystyle{ A + 1 = (B+1)^{-1}}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ XX^{-1} = X^{-1}X}\)
Zatem
\(\displaystyle{ (A+1)(B+1) = (B+1)(A+1)}\)
\(\displaystyle{ 1 = BA + B + A + 1}\)
\(\displaystyle{ AB + A + B + 1 = BA + B + A + 1}\)
\(\displaystyle{ AB = BA}\)
\(\displaystyle{ AB + A + B + 1 = 1}\)
\(\displaystyle{ (A+1)(B+1) = 1}\)
\(\displaystyle{ A + 1 = (B+1)^{-1}}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ XX^{-1} = X^{-1}X}\)
Zatem
\(\displaystyle{ (A+1)(B+1) = (B+1)(A+1)}\)
\(\displaystyle{ 1 = BA + B + A + 1}\)
\(\displaystyle{ AB + A + B + 1 = BA + B + A + 1}\)
\(\displaystyle{ AB = BA}\)