przestrzeń liniowa

[as2731]

Niech Lip([a,b], R) oznacza zbiór wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f: [a,b] \rightarrow R}\) dla których istnieje takie \(\displaystyle{ L \ge 0}\), że:
\(\displaystyle{ |f(s) - f(t) | \le L |s - t |}\), dla \(\displaystyle{ s,t \in [a,b]}\).
Wykazać, że zbiór Lip([a,b], R), ze zwykłymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę jest przestrzenią liniową.

więc tak najpierw sprawdzam czy działanie jest wewnętrzne:
\(\displaystyle{ |(f+g)(s) - (f+g)(t)| = |f(s)+g(s)-f(t)-g(t)| \le |f(s)-t(t)+g(s)-g(t)| \le |f(s)-f(t)|+|g(s)-g(t)| \le L_{1}|s-t| + L _{2}|s-t| = (L_{1}+ L_{2})|s-t|}\).

a jeśli będę sprawdzać łączność, to będę musiała sprawdzić taki warunek:
\(\displaystyle{ |(f+(g+h))(s)-(f+(g+h))(t)|=|((f+g)+h)(s)-((f+g)+h)(t)| \le L|s-t|}\)
czy wystarczy:
\(\displaystyle{ |(f+(g+h))(s)-(f+(g+h))(t)|=|((f+g)+h)(s)-((f+g)+h)(t)|}\),
czy jeszcze jakoś inaczej? Bardzo proszę o pomoc

[a4karo]

To drugie, bo fakt, że suma jest lipschitzowska już pokazałas

[as2731]

Ok:), dziękuję Ci:)

[bartek118]

Moment, moment. Po pierwsze - wystarczyło sprawdzić, że suma jest działaniem wewnętrznym. Cała reszta jest zbędna. Teraz czas na drugie działanie - mnożenie przez skalary.