Przedstaw przestrzeń V iloczyn W przez wektory rozpinające.

[piotrowm]

Witam.

Chciałbym żeby ktoś sprawdził mi te przekształcenia macierzy jeśli chodzi o poprawność.

Niech \(\displaystyle{ V = \Lin \left\{ (1, 2, 3,4), (2, 3, 5, 6)\right\}}\) zaś \(\displaystyle{ W = \Lin\left\{ (1, 3, 3, 5), (-2, 1, -2, 1)\right\}}\)
Przedstaw przestrzeń \(\displaystyle{ V \cap W}\) przez wektory rozpinające.


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 2&3&5&6 \\ 1&3&3&5 \\ -2&1&-2&1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&-1&-1&-2 \\ 0&1&0&1 \\ 0&5&4&9\end{array}\right]
\rightarrow \left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&-1&-1&-2 \\ 0&0&-1&-1 \\ 0&0&-1&-1\end{array}\right]
\rightarrow \left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&4 \\ 0&-1&0&-1 \\ 0&0&-1&-1 \\ 0&0&0&0\end{array}\right]
\rightarrow \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&1 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&0\end{array}\right]}\)

Jest duża szansa że coś jest nie tak lecz ja nie mogę na to natrafić.

[Kacperdev]

Wrzucając do macierzy nie otrzymasz \(\displaystyle{ V \cap W}\) tylko \(\displaystyle{ V \cup W}\).

[piotrowm]

W takim razie układ równań powinien wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x(1, 2, 3, 4) + y(2, 3, 5, 6) = z(1, 3, 3, 5) +t(-2, 1, -2, 1)}\)

A macierz następująco:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} 1&2&-1&2 \\ 2&3&-3&-1 \\ 3&5&-3&2 \\ 4&6&-5&-1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&5 \\ 0&-1&0&-4 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&0\end{array}\right]}\)

Parametr \(\displaystyle{ t=1}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ x=5, y=-4, z=-1}\)

Ta zamiana znaków na przeciwne w trzeciej i czwartej kolumnie występuje dlatego, że mamy iloczyn \(\displaystyle{ \cap}\), zgadza się?

[Kacperdev]

Po prostu przerzucamy wszystko z prawej strony na lewą.

[piotrowm]

Dzięki za pomoc .