Temat wydzielony: układ równań liniowych

[picoli]

Witam,
Jestem tu nowy. Chciałbym poprosić o wskazówki dotyczące rozwiązania równania za pomocą przekształceń elementarnych. Próbowałem na kilka sposobów i utknąłem w ślepym punkcie. Może ktoś pomoże mi zmienić tok myślenia.

Układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y-z+2u=0\\y+2z+u=1\\x+z-u=2 \end{array}}\)

Wychodzi mi z tego następująca macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-1&2&0\\0&1&2&1&1\\1&0&1&-1&2\end{array}\right]}\)

To co robię dalej - staram się redukować do zer:

W3-W1
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-1&2&0\\0&1&2&1&1\\0&2&2&-3&2\end{array}\right]}\)

W3-2W2
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-1&2&0\\0&1&2&1&1\\0&0&-2&-5&0\end{array}\right]}\)

I dalej staje w miejscu. Czy ktoś mógłby mnie naprowadzić, dać wskazówkę lub wskazać błędy?

[Premislav]

Teraz jeszcze dodaj dwukrotność W2 do W1, a następnie dodaj W3 do W2 i połowę W3 do W1.
Więcej nie zrobisz, bo masz cztery niewiadome i trzy równania - rozwiąż je np. ze względu na \(\displaystyle{ u}\) jako parametr (tj. uzależnij wynik od \(\displaystyle{ u}\)).

[picoli]

Prmislav, dziękuję za pomoc. Zrobiłem, jak mówiłeś. Mam natomiast jeszcze problem z podstawianiem, bo gdy dokonuję wszystkich obliczeń i robię sprawdzenie, to niestety źle wychodzi. Czy mógłbyś sprawdzić moje rachunki i powiedzieć, co robię nie tak lub mnie naprowadzić? Z góry dziękuję.

Więc na ostatniej mojej macierzy dokonałem obliczeń, o których pisałeś:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-1&2&0\\0&1&2&1&1\\0&0&-2&-5&0\end{array}\right]}\)

W1+2W2

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&3&4&2\\0&1&2&1&1\\0&0&-2&-5&0\end{array}\right]}\)

W2+W3

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&3&4&2\\0&1&0&-4&1\\0&0&-2&-5&0\end{array}\right]}\)

W1+1/2W3

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&2&1\frac{1}{2}&2\\0&1&0&-4&1\\0&0&-2&-5&0\end{array}\right]}\)

Obliczenia niewiadomych (z trzeciego wiersza macierzy):

-2z-(-5u)=0
u=\(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\)z

-2z=-5u /:2
z=\(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)u

y+2(\(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)u)=2
y=2-5u
y=-3u

x+\(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)u-u=2
x=2-\(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)u+u
x=2-1\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)u