Zbadać równość przestrzeni

[blade]

\(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in \mathbb R^4 : 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=0, -x_{2}+2x_{4}=0 \right }}\) oraz \(\displaystyle{ W=\text{lin} \left\{ \left( -1,2,4,1\right), \left( 3,-2,-8,-1\right), \left( -2,2,6,1\right) \right\}}\)
Zbadać czy \(\displaystyle{ V=W}\) oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ V \cap W}\). Odpowiedź uzasadnić
wyznaczyłem bazę \(\displaystyle{ B_{V}=\left( \left( 1,0,-2,0\right),\left( 0,2,2,1\right) \right)}\)
sprawdziłem, że te pierwszy i trzeci wektor z W są liniowo niezależne, więc tworzą bazę
\(\displaystyle{ B_{2}=\left( \left( -1,2,4,1\right),\left( -2,2,6,1\right) \right)}\)
Ale nie wiem jak sprawdzić czy \(\displaystyle{ V=W}\), wiem tylko, że \(\displaystyle{ V=W \Leftrightarrow V \subset W \wedge W \subset V}\), w sumie \(\displaystyle{ V \cap W}\) też nie potrafię wyznaczyć..
Z góry dziękuję za pomoc.

[norwimaj]

Sprawdzenie, czy \(\displaystyle{ W\subset V,}\) jest bardzo proste. Wystarczy sprawdzić, czy równania definiujące \(\displaystyle{ V}\) są spełnione po podstawieniu do nich wektorów rozpinających \(\displaystyle{ W.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ V}\) (albo \(\displaystyle{ W}\)) jest przestrzenią skończenie wymiarową, to równość \(\displaystyle{ W=V}\) jest równoważna spełnieniu koniunkcji dwóch warunków:
1. \(\displaystyle{ W\subset V,}\)
2. \(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W=\mathrm{dim}\;V.}\)

[blade]

Sprawdzenie, czy \(\displaystyle{ W\subset V,}\) jest bardzo proste. Wystarczy sprawdzić, czy równania definiujące \(\displaystyle{ V}\) są spełnione po podstawieniu do nich wektorów rozpinających \(\displaystyle{ W.}\)

Ok podstawiłem za \(\displaystyle{ x_{1}}\) trzeci wektor z W, za \(\displaystyle{ x_{2}}\) pierwszy i za \(\displaystyle{ x_{3}}\) drugi i wyszło, że pasuje do pierwszego równania.
Ale z tego co widzę \(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W \neq \mathrm{dim}\;V}\)
Więc \(\displaystyle{ V \neq W}\), ponieważ są różnych wymiarów?

Co teraz z iloczynem \(\displaystyle{ V \cap W}\)?

[Kacperdev]

Jak sprawdziłeś nierówność wymiarów?

[blade]

Jak sprawdziłeś nierówność wymiarów?

Ahh, źle popatrzyłem, rzeczywiście
\(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W=\mathrm{dim}\;V = 2}\)

Ok podstawiłem za \(\displaystyle{ x_{1}}\) trzeci wektor z W, za \(\displaystyle{ x_{2}}\) pierwszy i za \(\displaystyle{ x_{3}}\) drugi i wyszło, że pasuje do pierwszego równania.
?

ale tutaj nie mogę wymyślić jak podstawić do drugiego równania.

[Kacperdev]

To nie odpowiedziało na moje pytanie
Ustal w jakiej postaci są wszystkie wektory z \(\displaystyle{ V}\) i sprawdź czy każdy (niezależny) wektor z układu generatorów \(\displaystyle{ W}\) należy do \(\displaystyle{ V}\).

[blade]

Ustal w jakiej postaci są wszystkie wektory z \(\displaystyle{ V}\) i sprawdź czy każdy (niezależny) wektor z układu generatorów \(\displaystyle{ W}\) należy do \(\displaystyle{ V}\).

pierwszy i trzeci wektor z \(\displaystyle{ W}\) są niezależne, ale nie rozumiem pierwszej części

Ustal w jakiej postaci są wszystkie wektory z \(\displaystyle{ V}\)

A co do wymiaru, to baza \(\displaystyle{ V}\) i baza \(\displaystyle{ W}\) ma po 2 wektory, dlatego ich wymiary równają się \(\displaystyle{ 2}\), dobrze rozumiem ?

[norwimaj]

Ok podstawiłem za \(\displaystyle{ x_{1}}\) trzeci wektor z W, za \(\displaystyle{ x_{2}}\) pierwszy i za \(\displaystyle{ x_{3}}\) drugi i wyszło, że pasuje do pierwszego równania.

\(\displaystyle{ x_1}\) to pierwsza współrzędna wektora, a nie cały wektor. Pokaż, jak Ty to podstawiłeś.

[blade]

Ok podstawiłem za \(\displaystyle{ x_{1}}\) trzeci wektor z W, za \(\displaystyle{ x_{2}}\) pierwszy i za \(\displaystyle{ x_{3}}\) drugi i wyszło, że pasuje do pierwszego równania.

\(\displaystyle{ x_1}\) to pierwsza współrzędna wektora, a nie cały wektor. Pokaż, jak Ty to podstawiłeś.

Aha, dobra teraz rozumiem, podstawiłem cały wektor

[norwimaj]

A co do wymiaru, to baza \(\displaystyle{ V}\) i baza \(\displaystyle{ W}\) ma po 2 wektory, dlatego ich wymiary równają się \(\displaystyle{ 2}\),

To jest prawda.

dobrze rozumiem ?

Tego nie jestem w stanie rozstrzygnąć.

Jeśli \(\displaystyle{ V}\) (albo \(\displaystyle{ W}\)) jest przestrzenią skończenie wymiarową, to równość \(\displaystyle{ W=V}\) jest równoważna spełnieniu koniunkcji dwóch warunków:
1. \(\displaystyle{ W\subset V,}\)
2. \(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W=\mathrm{dim}\;V.}\)

Nie pomyślałem wcześniej, że tu jeszcze można sobie ułatwić. Warunek 2. można zastąpić przez \(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W\ge\mathrm{dim}\;V.}\) Wtedy wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W\ge2,}\) zamiast \(\displaystyle{ \mathrm{dim}\;W=2.}\)