Zbadać czy podane wektory stanowią bazę

[blade]

Wstawiam tutaj pierwszy, trywialny przykład, abym zrozumiał ideę i ogólnie sprawdzić czy dobrze to robię, zatem :
mam bazę \(\displaystyle{ B= \left( \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}}, \vec{v_{4}} \right)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\)
oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{w}=[2,1,0,-1]_{B}}\)
więc od razu zapiszę sobie \(\displaystyle{ \vec{w}=2\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}}-\vec{v_{4}}}\)
I mam sprawdzić czy wektor \(\displaystyle{ (\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\vec{w},\vec{v_{3}})}\) stanowi bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\)

więc teraz niech \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ (x,y,z,t)=a\cdot\vec{v_{1}} +b\cdot\vec{v_{2}} +c\cdot\vec{w}+d\cdot\vec{v_{3}} = \vec{v_{1}}(a+2c)+\vec{v_{2}}(b+c) +\vec{v_{3}}\cdot d +\vec{v_{4}}\cdot \left( -c\right)}\)
Z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\vec{v_{3}},\vec{v_{4}}}\) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2c=0 \\ b+c=0 \\ d=0 \\ -c=0 \end{cases}}\)
po drobnych podstawieniach : \(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b=0 \\ c=0 \\ d=0 \end{cases}}\)
Więc mam, że te wektory są liniowo niezależne.

Teraz muszę sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \forall_{(x,y,z,t) \in \mathbb R^4} \exists!{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}} \in \mathbb R : u_{1}x +u_{2}y +u_{3}z +u_{4}t = (x,y,z,t)}\) (dokładnie jeden nie wiem jak przedstawić w LaTeXu, więc dałem wykrzyknik)

więc mam :
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}=a+2c \\ u_{2}=b+c \\ u_{3}=d \\ u_{4}=-c \end{cases}}\)

Po przekształceniach mam :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=u_{1} +2u_{4} \\ b=u_{2} + u_{4} \\ c=-u_{4} \\ d=u_{3}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ ^\star}\)Czyli, że te (właśnie co? skalary?) generują (właśnie co? wektory?) --> Tutaj prosiłbym o odpowiedź, co ja właśnie pokazałem.
Zatem podane wektory stanowią bazę przestrzeni w \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\)

Czy to jest rozwiązane prawidłowo ? Jeśli nie to prosiłbym o jakąś podpowiedź oraz o wyjaśnienie zdania przy, którym postawiłem " \(\displaystyle{ ^\star}\) "
Z góry dziękuję za odpowiedź

[Kacperdev]

Do sprawdzenia liniowej niezależności jest prawie dobrze. Prawie bo muszę sie przyczepić o mnożenie wektor razy skalar. Jest mnożenie skalara razy wektor.

Co sprawdzenia czy nowy układ wektorów generuję przestrzeń:

Zły warunek:

Teraz muszę sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \forall_{(x,y,z,t) \in \mathbb R^4} \exists!{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}} \in \mathbb R : u_{1}x +u_{2}y +u_{3}z +u_{4}t = (x,y,z,t)}\) (dokładnie jeden nie wiem jak przedstawić w LaTeXu, więc dałem wykrzyknik)

Po pierwsze nie musisz zakładać, że istnieją dokladnie jedne takie skalary.
Po drugie bierzesz wektory bazowe i sprawdzasz czy istnieje ich taka kombinacja, by wygenerować każdy wektor z przestrzeni.
(Twój warunek jest oczywiście spełniony dla każdego \(\displaystyle{ u_{i}=1}\))