Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
-
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
a)\(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(-5,2,-3), \vec{v_{2}}=(2,-3,4), \vec{v_{3}}=(-11.0,-1)}\)
Problem jest w tym, że nie rozumiem treści zadania. Mógłby ktoś napisać co trzeba w tym zadaniu zrobić ?
Z góry dziękuję.
@Edit
Sprawdziłem, że te wektory nie są liniowo niezależne.
Później wziąłem \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\) i wyszło mi, że te 2 wektory są liniowo niezależne, zatem te 2 wektory tworzą bazę ?
\(\displaystyle{ B_{1}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( 2,-3,4\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} i \vec{v_{2}}:}\)
też są liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{2}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{2}} i \vec{v_{3}}:}\)
też liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{3}=\left( \left( 2,-3,4\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Na tym to polega?
Problem jest w tym, że nie rozumiem treści zadania. Mógłby ktoś napisać co trzeba w tym zadaniu zrobić ?
Z góry dziękuję.
@Edit
Sprawdziłem, że te wektory nie są liniowo niezależne.
Później wziąłem \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\) i wyszło mi, że te 2 wektory są liniowo niezależne, zatem te 2 wektory tworzą bazę ?
\(\displaystyle{ B_{1}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( 2,-3,4\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} i \vec{v_{2}}:}\)
też są liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{2}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{2}} i \vec{v_{3}}:}\)
też liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{3}=\left( \left( 2,-3,4\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Na tym to polega?
Ostatnio zmieniony 15 lis 2014, o 18:02 przez blade, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
Sprawdź, czy te wektory są liniowo niezależne, jeśli tak, to cała trójka tworzy bazę, jeśli nie, to sprawdź, czy któraś dwójka jest liniowo niezależna (to widać, że jest) i wtedy taka dwójka wektorów tworzy bazę... A to, czy cała trójka jest lnz, to możesz sprawdzić albo wprost z definicji albo np. wpisać te wektory w kolumny macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i policzyć jej wyznacznik - jak jest niezerowy, to są liniowo niezależne, jak jest zerowy, to są liniowo zależne.
-
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 586 razy
- Pomógł: 16 razy
Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
Edytowałem post, zaraz po tym jak mi odpowiedziałeś, możesz sprawdzić, czy dobrze, to zrobiłem ?Premislav pisze:Sprawdź, czy te wektory są liniowo niezależne, jeśli tak, to cała trójka tworzy bazę, jeśli nie, to sprawdź, czy któraś dwójka jest liniowo niezależna (to widać, że jest) i wtedy taka dwójka wektorów tworzy bazę... A to, czy cała trójka jest lnz, to możesz sprawdzić albo wprost z definicji albo np. wpisać te wektory w kolumny macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i policzyć jej wyznacznik - jak jest niezerowy, to są liniowo niezależne, jak jest zerowy, to są liniowo zależne.
blade pisze:
@Edit
Sprawdziłem, że te wektory nie są liniowo niezależne.
Później wziąłem \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\) i wyszło mi, że te 2 wektory są liniowo niezależne, zatem te 2 wektory tworzą bazę ?
\(\displaystyle{ B_{1}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( 2,-3,4\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} i \vec{v_{2}}:}\)
też są liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{2}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{2}} i \vec{v_{3}}:}\)
też liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{3}=\left( \left( 2,-3,4\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Na tym to polega?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
Tak (przy czym dobrze policzyłeś, że cała trójka jest liniowo zależna), teraz możesz wziąć którąkolwiek z \(\displaystyle{ B _{1}, B _{2}, B _{3}}\) jako odpowiedź. Bo \(\displaystyle{ \lin B _{1}=\lin B _{2}=\lin B _{3}}\).
Ostatnio zmieniony 15 lis 2014, o 21:01 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
Tak, bo zobacz, że \(\displaystyle{ \vec v _{3}=3\vec v _{1}+2\vec v _{2}}\). A zatem jak se weźmiesz
\(\displaystyle{ lin B _{1}}\), to należy doń \(\displaystyle{ \vec v _{3}}\), a więc i wszelkie jego krotności, a z własności otoczki liniowej jako podprzestrzeni liniowej kombinacja wektorów z niej też do niej należy.
A z tej samej równości np. \(\displaystyle{ \vec v _{2}= \frac{1}{2}\vec v _{3}- \frac{3}{2}\vec v _{1}}\)
i znowu ta sama uwaga a propos otoczki liniowej, a dla \(\displaystyle{ B _{3}}\) jest w pełni analogicznie i wolałbym tego już nie rozpisywać, bo mam swoje zadanka.
\(\displaystyle{ lin B _{1}}\), to należy doń \(\displaystyle{ \vec v _{3}}\), a więc i wszelkie jego krotności, a z własności otoczki liniowej jako podprzestrzeni liniowej kombinacja wektorów z niej też do niej należy.
A z tej samej równości np. \(\displaystyle{ \vec v _{2}= \frac{1}{2}\vec v _{3}- \frac{3}{2}\vec v _{1}}\)
i znowu ta sama uwaga a propos otoczki liniowej, a dla \(\displaystyle{ B _{3}}\) jest w pełni analogicznie i wolałbym tego już nie rozpisywać, bo mam swoje zadanka.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory
Nie lubię wypowiadać się w takich kwestiach... Moim zdaniem nie musisz, bo to, co napisałem o równości tych otoczek liniowych, to znany fakt, ale nie byłem na Twoich zajęciach, więc nie wiem, czy u Ciebie się pojawił.
Możesz spytać ćwiczeniowca/wykładowcę, a jak nie chcesz, to zawsze lepiej napisać trochę więcej niż bać się o stratę punktów. Z drugiej strony tu np. wypisywanie po kolei wszystkich trzech baz i dokładne pokazywanie z definicji, że ich otoczki liniowe są równe, jest czasochłonne. Więc radziłbym to skomentować podobnie jak ja, tj. w przypadku \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) i par liniowo niezależnych wektorów przedstawić każdy jako kombinację liniową dwóch pozostałych i napisać, że z własności otoczki liniowej jako podprzestrzeni liniowej pociąga to inkluzje między tymi podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). I analogicznie jak masz przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k}\) wektorów, z których każde \(\displaystyle{ k-1}\) jest liniowo niezależne, ale już one wszystkie nie są liniowo niezależne, przedstawiłbym każdy szybciutko jako kombinację liniową pozostałych i napisał, że każdy z tych "linów" jest oczywiście podprzestrzenią liniową.
Ech, nie umiem tłumaczyć, więc boję się, że tylko Ci namieszałem.
Możesz spytać ćwiczeniowca/wykładowcę, a jak nie chcesz, to zawsze lepiej napisać trochę więcej niż bać się o stratę punktów. Z drugiej strony tu np. wypisywanie po kolei wszystkich trzech baz i dokładne pokazywanie z definicji, że ich otoczki liniowe są równe, jest czasochłonne. Więc radziłbym to skomentować podobnie jak ja, tj. w przypadku \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) i par liniowo niezależnych wektorów przedstawić każdy jako kombinację liniową dwóch pozostałych i napisać, że z własności otoczki liniowej jako podprzestrzeni liniowej pociąga to inkluzje między tymi podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). I analogicznie jak masz przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k}\) wektorów, z których każde \(\displaystyle{ k-1}\) jest liniowo niezależne, ale już one wszystkie nie są liniowo niezależne, przedstawiłbym każdy szybciutko jako kombinację liniową pozostałych i napisał, że każdy z tych "linów" jest oczywiście podprzestrzenią liniową.
Ech, nie umiem tłumaczyć, więc boję się, że tylko Ci namieszałem.