Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: blade »

a)\(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(-5,2,-3), \vec{v_{2}}=(2,-3,4), \vec{v_{3}}=(-11.0,-1)}\)
Problem jest w tym, że nie rozumiem treści zadania. Mógłby ktoś napisać co trzeba w tym zadaniu zrobić ?
Z góry dziękuję.

@Edit
Sprawdziłem, że te wektory nie są liniowo niezależne.
Później wziąłem \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\) i wyszło mi, że te 2 wektory są liniowo niezależne, zatem te 2 wektory tworzą bazę ?
\(\displaystyle{ B_{1}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( 2,-3,4\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} i \vec{v_{2}}:}\)
też są liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{2}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{2}} i \vec{v_{3}}:}\)
też liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{3}=\left( \left( 2,-3,4\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)

Na tym to polega?
Ostatnio zmieniony 15 lis 2014, o 18:02 przez blade, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: Premislav »

Sprawdź, czy te wektory są liniowo niezależne, jeśli tak, to cała trójka tworzy bazę, jeśli nie, to sprawdź, czy któraś dwójka jest liniowo niezależna (to widać, że jest) i wtedy taka dwójka wektorów tworzy bazę... A to, czy cała trójka jest lnz, to możesz sprawdzić albo wprost z definicji albo np. wpisać te wektory w kolumny macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i policzyć jej wyznacznik - jak jest niezerowy, to są liniowo niezależne, jak jest zerowy, to są liniowo zależne.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: blade »

Premislav pisze:Sprawdź, czy te wektory są liniowo niezależne, jeśli tak, to cała trójka tworzy bazę, jeśli nie, to sprawdź, czy któraś dwójka jest liniowo niezależna (to widać, że jest) i wtedy taka dwójka wektorów tworzy bazę... A to, czy cała trójka jest lnz, to możesz sprawdzić albo wprost z definicji albo np. wpisać te wektory w kolumny macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i policzyć jej wyznacznik - jak jest niezerowy, to są liniowo niezależne, jak jest zerowy, to są liniowo zależne.
Edytowałem post, zaraz po tym jak mi odpowiedziałeś, możesz sprawdzić, czy dobrze, to zrobiłem ?
blade pisze:
@Edit
Sprawdziłem, że te wektory nie są liniowo niezależne.
Później wziąłem \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\) i wyszło mi, że te 2 wektory są liniowo niezależne, zatem te 2 wektory tworzą bazę ?
\(\displaystyle{ B_{1}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( 2,-3,4\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} i \vec{v_{2}}:}\)
też są liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{2}=\left( \left( -5,2,-3\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)
Później biorę \(\displaystyle{ \vec{v_{2}} i \vec{v_{3}}:}\)
też liniowo niezależne :
\(\displaystyle{ B_{3}=\left( \left( 2,-3,4\right),\left( -11,0,-1\right) \right)}\)

Na tym to polega?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: Premislav »

Tak (przy czym dobrze policzyłeś, że cała trójka jest liniowo zależna), teraz możesz wziąć którąkolwiek z \(\displaystyle{ B _{1}, B _{2}, B _{3}}\) jako odpowiedź. Bo \(\displaystyle{ \lin B _{1}=\lin B _{2}=\lin B _{3}}\).
Ostatnio zmieniony 15 lis 2014, o 21:01 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: blade »

Aha, czyli nie muszę liczyć każdej bazy? Wystarczy tylko 1 ? A ja głupi przez 7 podpunktów liczyłem wszystkie możliwe bazy..
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: Premislav »

Tak, bo zobacz, że \(\displaystyle{ \vec v _{3}=3\vec v _{1}+2\vec v _{2}}\). A zatem jak se weźmiesz
\(\displaystyle{ lin B _{1}}\), to należy doń \(\displaystyle{ \vec v _{3}}\), a więc i wszelkie jego krotności, a z własności otoczki liniowej jako podprzestrzeni liniowej kombinacja wektorów z niej też do niej należy.
A z tej samej równości np. \(\displaystyle{ \vec v _{2}= \frac{1}{2}\vec v _{3}- \frac{3}{2}\vec v _{1}}\)
i znowu ta sama uwaga a propos otoczki liniowej, a dla \(\displaystyle{ B _{3}}\) jest w pełni analogicznie i wolałbym tego już nie rozpisywać, bo mam swoje zadanka.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: blade »

Ok, dzięki, a powinienem wtedy zostawić jakiś komentarz, gdy znajdę już pierwszą bazę ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Znaleźć bazę przestrzeni generowanej przez wektory

Post autor: Premislav »

Nie lubię wypowiadać się w takich kwestiach... Moim zdaniem nie musisz, bo to, co napisałem o równości tych otoczek liniowych, to znany fakt, ale nie byłem na Twoich zajęciach, więc nie wiem, czy u Ciebie się pojawił.
Możesz spytać ćwiczeniowca/wykładowcę, a jak nie chcesz, to zawsze lepiej napisać trochę więcej niż bać się o stratę punktów. Z drugiej strony tu np. wypisywanie po kolei wszystkich trzech baz i dokładne pokazywanie z definicji, że ich otoczki liniowe są równe, jest czasochłonne. Więc radziłbym to skomentować podobnie jak ja, tj. w przypadku \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) i par liniowo niezależnych wektorów przedstawić każdy jako kombinację liniową dwóch pozostałych i napisać, że z własności otoczki liniowej jako podprzestrzeni liniowej pociąga to inkluzje między tymi podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). I analogicznie jak masz przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k}\) wektorów, z których każde \(\displaystyle{ k-1}\) jest liniowo niezależne, ale już one wszystkie nie są liniowo niezależne, przedstawiłbym każdy szybciutko jako kombinację liniową pozostałych i napisał, że każdy z tych "linów" jest oczywiście podprzestrzenią liniową.
Ech, nie umiem tłumaczyć, więc boję się, że tylko Ci namieszałem.
ODPOWIEDZ