Udowodnić zależność

[blade]

\(\displaystyle{ lin\left( lin A\right) = lin A}\)
Nie mam pojęcia jak to ruszyć, jakieś wskazówki ?
Z góry dziękuję za każdą pomoc

[szw1710]

Jeśli zbiorem generatorów jest podprzestrzeń, nic więcej nie da się wygenerować.

\(\displaystyle{ A\subset \text{lin}A}\), więc \(\displaystyle{ \text{lin}A\subset\text{lin}\text{lin}A}\) - trywialne. Druga inkluzja wynika z tego, że \(\displaystyle{ \text{lin}\text{lin}A}\) jest przestrzenią liniową zawierającą \(\displaystyle{ A}\). Uzupełnij szczegóły.

[blade]

Jeśli zbiorem generatorów jest podprzestrzeń, nic więcej nie da się wygenerować.

\(\displaystyle{ A\subset \text{lin}A}\), więc \(\displaystyle{ \text{lin}A\subset\text{lin}\text{lin}A}\) - trywialne. .

Tak to też wiem, z definicji, ale nie wiem za bardzo jak sie tutaj odnieść do tego.
z definicji by było
\(\displaystyle{ lin A \subset linlin A \Leftrightarrow \forall_{x}(x\in \text{lin} A \Rightarrow x \in \text{lin}\text{lin} A)}\), ale nadal nic to nie daje.
albo z drugiej strony myślałem też, że skoro \(\displaystyle{ A \subset \text{lin} A}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ A \subset \text{lin}\text{lin} A}\)
ale to nadal chyba nie daje rowności pomiędzy \(\displaystyle{ \text{lin}\text{lin} A}\) i \(\displaystyle{ \text{lin} A}\)

[porfirion]

Wszak kombinacja liniowa wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów z \(\displaystyle{ A}\), też jest kombinacją liniową wektorów z \(\displaystyle{ A}\) Stąd \(\displaystyle{ \text{lin}(\text{linA}) \subseteq \text{lin}A}\).

[blade]

Stąd \(\displaystyle{ \text{lin}(\text{linA}) \subseteq \text{lin}A}\).

Ale czy to oznacza, że \(\displaystyle{ \text{lin}(\text{linA}) = \text{lin}A}\) ?

[porfirion]

Nie. Żeby udowodnić równość pomiędzy zbiorami, potrzeba udowodnić dwie inkluzje.
To jest ta trudniejsza. O pierwszej pisał szw1710:

\(\displaystyle{ A\subset \text{lin}A}\), więc \(\displaystyle{ \text{lin}A\subset\text{lin}\text{lin}A}\)

Choć ze względów estetycznych ja bym to napisał tak:
Dla każdego \(\displaystyle{ B}\) mamy \(\displaystyle{ B\subset \text{lin}B}\), więc \(\displaystyle{ \text{lin}A\subset\text{lin}(\text{lin})A}\).

[szw1710]

Albo, że operacja brania liniowej powłoki jest monotoniczna względem inkluzji.

Gwoli ścisłości, o drugiej inkluzji też napisałem.

[blade]

Czyli ta pierwsza inkluzja, będzie tak jak pisałem wyżej, tylko, że zamiast \(\displaystyle{ x}\) będzie \(\displaystyle{ A}\) :
\(\displaystyle{ \forall_{A} : A \subset \text{lin} A \Rightarrow \text{lin} A \subset \text{lin}\left( \text{lin} A\right) )}\) tak ?

2 inkluzja, no tutaj nie mam pomysłu.

[szw1710]

Ale masz wskazówkę. Podprzestrzeń \(\displaystyle{ \text{lin}C}\) to część wspólna wszystkich przestrzeni liniowych zawierających \(\displaystyle{ C}\). Pokaż - napiszę jeszcze raz - że \(\displaystyle{ \text{lin}\text{lin}A}\) zawiera \(\displaystyle{ A}\). To także bardzo proste.

[blade]

Ech, nie widzę tego, poddaje się..

[szw1710]

A to tak proste. Pomyśl, dlaczego \(\displaystyle{ A\subset\text{lin}\text{lin}A}\).

[blade]

ponieważ \(\displaystyle{ A \subset \text{lin} A}\)
a skoro \(\displaystyle{ \text{lin}A \subset \text{lin}\text{lin}A}\). to \(\displaystyle{ A\subset\text{lin}\text{lin}A}\)

[szw1710]

Owszem. I teraz drugą inkluzję masz bezpośrednio z definicji liniowej powłoki.

[blade]

Owszem. I teraz drugą inkluzję masz bezpośrednio z definicji liniowej powłoki.

No i właśnie tego nie potrafię zauważyć.
Nigdzie nie mogę znaleźć tej definicji.

[szw1710]

Zbiór \(\displaystyle{ \text{lin}A}\) to najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca \(\displaystyle{ A}\) czyli część wspólna wszystkich podprzestrzeni liniowych zawierających \(\displaystyle{ A}\). Poznałem to na pierwszym wykładzie dotyczącym powłoki liniowej. Po pięciu minutach od jej wprowadzenia. To podstawa. Znajdziesz to w każdym podręczniku algebry liniowej.