Działania na macierzach

[JulitaW]

Witam

Polecenie: Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&y\\4&7\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&2\\0&4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z&-10\\12&-t\end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix} x&y\\4&7\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&2\\0&4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x&2x+4y\\12&36\end{bmatrix}

z tego : \\
3x=z \rightarrow x=\frac{1}{3}z \\
2x+4y=-10 \rightarrow y=-\frac{10}{4}-\frac{1}{2}x \\
12=12 \\
36=-t \rightarrow t=-36}\)

Czy dobrze to rozpisałam? Miałam problem co wyznaczać z poszczególnych równań..I nie do końca jestem przekonana czy to jest dobrze. Jak powinno się zapisać rozwiązanie?
Bardzo proszę o sprawdzenie.

[kerajs]

Jest OK.
Tu niefortunne jest polecenie: ,,Rozwiąż równanie'. Spodziewałbym sie raczej : ,,Dla jakich x,y,z,t zachodzi poniższe równanie'.
Rozwiązaniem jast układ szukanych niewiadomych:
\(\displaystyle{ z=3x \wedge y=-\frac{10}{4}-\frac{1}{2}x \wedge t=-36}\)
Co daje nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od parametru x.

[JulitaW]

Dziękuję

Mam jeszcze jedną zagwozdkę.
Wynik zapewne wyszedł mi dobrze, ale sposób którym robiłam wydaje mi się zbyt "na około".
Czy można to jakoś prościej?

Polecenie: Rozwiąż równania

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-3\\5&-7\end{bmatrix} \cdot X \cdot \begin{bmatrix} 1&4\\2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&0\\-2&1\end{bmatrix} \\\\
\begin{bmatrix} 2&-3\\5&-7\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a-3c&2b-3d\\5a-7c&5b-7d\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} 2a-3c&2b-3d\\5a-7c&5b-7d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&4\\2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&0\\-2&1\end{bmatrix}\\

Z tego stworzyłam układ równań:\\
\left\{\begin{array}{l} 2a-3c+2(2b-3d)=3\\4(2a-3c)+7(2b-3d)=0\\5a-7c+2(5b-7d)=-1\\4(5a-7c)+7(5b-7d)=1 \end{array}

Rozwiązywałam jako dwa mniejsze:\\
Pierwsze: \\ \left\{\begin{array}{l} 2a-3c+2(2b-3d)=3\\4(2a-3c)+7(2b-3d)=0\end{array}\\ \\ \left\{\begin{array}{l} 2a-3c=3-2(2b-3d)\\2a-3c=[-7(2b-3d)]:4\end{array}\\ \\

Oraz drugie: \\ \left\{\begin{array}{l} 5a-7c+2(5b-7d)=-2\\4(5a-7c)+7(5b-7d)=1\end{array}\\ \\ \left\{\begin{array}{l} 5a-7c=-2-2(5b-7d)\\5a-7c=[1-7(5b-7d)]:4\end{array}\\ \\}\)\
\(\displaystyle{ z czego:}\)
\(\displaystyle{ a = 195\\
\\b = -111\\
\\c = 137\\
\\d = -78}\)

[kerajs]

1.
Jestem pełen podziwu dla Twojej determinacji w poprawnym wyświetleniu w Latexie tych macierzy i układów równań. Wielki szacun.

2.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-3\\5&-7\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a-3c&2b-3d\\5a-7c&5b-7d\end{bmatrix}}\)
Ja póbowałem sobie ułatwić przez podstawienie \(\displaystyle{ p=2a-3c \wedge q=2b-3d \wedge r=5a-7c \wedge s=5b-7d}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2a-3c&2b-3d\\5a-7c&5b-7d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p&q\\r&s \end{bmatrix}}\)
i rozwiązywałem równanie
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} p&q\\r&s \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&4\\2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&0\\-2&1\end{bmatrix}\\}\)

3.
To równanie można DUŻO łatwiej rozwiazać jako równanie macierzowe
\(\displaystyle{ AXB=D}\) rozwiazuje się przez obustronne pomnożenie przez macierze odwrotne
\(\displaystyle{ X=A ^{-1} DB ^{-1}}\)
Tu masz
\(\displaystyle{ X= \begin{bmatrix} -7&3\\-5&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&0\\-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -7&4\\2&-1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 195&-111\\137&-78\end{bmatrix}}\)

[JulitaW]

Dziękuje za odpowiedź.

Ad 2. Fajny pomysł. Zdecydowanie ułatwia liczenie.

Ad 3. Jeszcze nie zgłębiałam się w temat macierzy odwrotnych, teraz tak patrzę na listy zadań i to o czym mówisz jest na liście 5, a ja obecnie jestem na 2

Ad 1. Dziękuję, staram się przestrzegać regulaminu -- 15 lis 2014, o 14:59 --Napotkałam kolejny problem.

Polecenie: Udowodnij własności działań \(\displaystyle{ (A, B, C}\)- macierze tego samego wymiaru,\(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R)}\)

\(\displaystyle{ a) A+B=B+A \\ b) (A+B)+C=A+(B+C) \\ c) \alpha (A+B)= \alpha A+ \alpha B \\ d) ( \alpha + \beta )A= \alpha A+ \beta A}\)

Nie mam pomysłu jak to ruszyć. Jak to się "udowadnia"? Potrzebuję wskazówki
Własności działań na macierzach oczywiście znam, ale przeraża mnie to słowo udowodnij

[kerajs]

Sorry, nie było mnie.


Niech
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a _{1,1} & a _{1,2}&...&a _{1,n} \\a _{2,1} & a _{2,2}&...&a _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1} & a _{m,2}&...&a _{m,n} \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} b _{1,1} & b _{1,2}&...&b _{1,n} \\b _{2,1} & b _{2,2}&...&b _{2,n}\\...&...&...&...\\b _{m,1} & b _{m,2}&...&b _{m,n} \end{bmatrix}, \ C=\begin{bmatrix} c _{1,1} & c _{1,2}&...&c _{1,n} \\c _{2,1} & c _{2,2}&...&c _{2,n}\\...&...&...&...\\c _{m,1} & c _{m,2}&...&c _{m,n} \end{bmatrix}}\)


a) \(\displaystyle{ A+B=B+A}\)

\(\displaystyle{ L=A+B=\begin{bmatrix} a _{1,1} & a _{1,2}&...&a _{1,n} \\a _{2,1} & a _{2,2}&...&a _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1} & a _{m,2}&...&a _{m,n} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} b _{1,1} & b _{1,2}&...&b _{1,n} \\b _{2,1} & b _{2,2}&...&b _{2,n}\\...&...&...&...\\b _{m,1} & b _{m,2}&...&b _{m,n} \end{bmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{bmatrix} a _{1,1}+b _{1,1} & a _{1,2}+b _{1,2}&...&a _{1,n}+b _{1,n} \\a _{2,1}+b _{2,1} & a _{2,2}+b _{2,2}&...&a _{2,n}+b _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1}+b _{m,1} &a _{m,2}+ b _{m,2}&...&a _{m,n}+b _{m,n}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} b _{1,1}+a _{1,1} & b _{1,2}+a _{1,2}&...&b _{1,n}+a _{1,n} \\b _{2,1}+a _{2,1} & b _{2,2}+a _{2,2}&...&b _{2,n}+a _{2,n}\\...&...&...&...\\b _{m,1}+a _{m,1} &b _{m,2}+ a _{m,2}&...&b _{m,n}+a _{m,n}\end{bmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{bmatrix} b _{1,1} & b _{1,2}&...&b _{1,n} \\b _{2,1} & b _{2,2}&...&b _{2,n}\\...&...&...&...\\b _{m,1} & b _{m,2}&...&b _{m,n} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a _{1,1} & a _{1,2}&...&a _{1,n} \\a _{2,1} & a _{2,2}&...&a _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1} & a _{m,2}&...&a _{m,n} \end{bmatrix} =B+A=P}\)


c) \(\displaystyle{ \alpha (A+B)= \alpha A+ \alpha B}\)

\(\displaystyle{ L= \alpha (A+B)= \alpha \cdot \left\{ \begin{bmatrix} a _{1,1} & a _{1,2}&...&a _{1,n} \\a _{2,1} & a _{2,2}&...&a _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1} & a _{m,2}&...&a _{m,n} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} b _{1,1} & b _{1,2}&...&b _{1,n} \\b _{2,1} & b _{2,2}&...&b _{2,n}\\...&...&...&...\\b _{m,1} & b _{m,2}&...&b _{m,n} \end{bmatrix}\right\}=\\= \alpha \cdot \begin{bmatrix} a _{1,1}+b _{1,1} & a _{1,2}+b _{1,2}&...&a _{1,n}+b _{1,n} \\a _{2,1}+b _{2,1} & a _{2,2}+b _{2,2}&...&a _{2,n}+b _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1}+b _{m,1} &a _{m,2}+ b _{m,2}&...&a _{m,n}+b _{m,n}\end{bmatrix}= \\ =\begin{bmatrix} \alpha ( a _{1,1}+b _{1,1}) & \alpha (a _{1,2}+b _{1,2})&...& \alpha (a _{1,n}+b _{1,n}) \\ \alpha (a _{2,1}+b _{2,1}) & \alpha ( a _{2,2}+b _{2,2})&...& \alpha (a _{2,n}+b _{2,n})\\...&...&...&...\\ \alpha (a _{m,1}+b _{m,1}) & \alpha (a _{m,2}+ b _{m,2})&...& \alpha (a _{m,n}+b _{m,n})\end{bmatrix}=\\=\begin{bmatrix} \alpha a _{1,1}+\alpha b _{1,1} & \alpha a _{1,2}+\alpha b _{1,2}&...& \alpha a _{1,n}+\alpha b _{1,n} \\ \alpha a _{2,1}+\alpha b _{2,1} & \alpha a _{2,2}+\alpha b _{2,2}&...& \alpha a _{2,n}+\alpha b _{2,n}\\...&...&...&...\\ \alpha a _{m,1}+\alpha b _{m,1} & \alpha a _{m,2}+ \alpha b _{m,2}&...& \alpha a _{m,n}+\alpha b _{m,n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha a _{1,1} & \alpha a _{1,2}&...&\alpha a _{1,n} \\\alpha a _{2,1} & \alpha a _{2,2}&...&\alpha a _{2,n}\\...&...&...&...\\\alpha a _{m,1} & \alpha a _{m,2}&...&\alpha a _{m,n} \end{bmatrix} +\\+\begin{bmatrix} \alpha b _{1,1} & \alpha b _{1,2}&...&\alpha b _{1,n} \\\alpha b _{2,1} & \alpha b _{2,2}&...&\alpha b _{2,n}\\...&...&...&...\\\alpha b _{m,1} & \alpha b _{m,2}&...&\alpha b _{m,n} \end{bmatrix}=}\)\(\displaystyle{ \alpha \cdot \begin{bmatrix} a _{1,1} & a _{1,2}&...&a _{1,n} \\a _{2,1} & a _{2,2}&...&a _{2,n}\\...&...&...&...\\a _{m,1} & a _{m,2}&...&a _{m,n} \end{bmatrix} + \alpha \cdot \begin{bmatrix} b _{1,1} & b _{1,2}&...&b _{1,n} \\b _{2,1} & b _{2,2}&...&b _{2,n}\\...&...&...&...\\b _{m,1} & b _{m,2}&...&b _{m,n} \end{bmatrix}=\\= \alpha A+ \alpha B=P}\)

Pozostałe dwa przykłady pewnie już zrobisz bez problemu wzorując sie na powyższych ,,dowodach'.

[JulitaW]

Dzięki śliczne, teraz wszystko jasne. Sama bym na to nie wpadła