Zbadać liniową niezależność

[blade]

\(\displaystyle{ \vec{u_{1}}=\left( 1,1,-1,3\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_{2}}=\left( 1,4,2,0\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_{3}}=\left( 1,2,0,2\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ a\vec{u_{1}}+b\vec{u_{2}}+c\vec{u_{3}}=\vec{0}}\)
dostaje układ równań : (zamieniłem kolejnością, tzn. 2 równanie dałem na koniec)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ -a+2b=0 \rightarrow b=\frac{a}{2} \\ 3a+2c=0 \rightarrow c=-\frac{3}{2}a \\ a+4b+2c=0 \rightarrow a+2a-3a=0 \rightarrow 0=0 \end{cases}}\)
Jeśli dostałem równanie tożsamościowe to znaczy, że te wektory nie są liniowo niezależne tak ?

[kerajs]

A jaka trójka a,b,c spełnia układ równań?

[blade]

\(\displaystyle{ a,\frac{a}{2},-\frac{3}{2}a}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in \mathbb R}\) ?

[kerajs]

Jeśli dostałem równanie tożsamościowe to znaczy, że te wektory nie są liniowo niezależne tak ?

Niekoniecznie.

Chciałem Ci zwrócić uwagę że warunkiem liniowej zależności jest istnienie nietrywialnego układu skalarów rozwiązującego pierwotne równanie.
Ty masz nieskończenie wiele trójek (a wystarczyłaby tylko jedna) które nie są samymi zerami, i to stąd wynika zależność tych wektorów.

[blade]

Czyli odpowiedzią będzie, że te wektory nie są liniowo niezależne ?:)

[kerajs]

Tak. Są liniowo zależne. Nie są liniowo niezależne. (Tu wybór jest dychotomiczny)