Zapisać wektor kombinacją liniową pozostałych

[blade]

Zapisać wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) za pomocą kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ \vec{v}}\),\(\displaystyle{ \vec{w}}\), \(\displaystyle{ \vec{t}}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}=\left( -1,2\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}=\left(3,1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{w}=\left(0,-3 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{t}=\left(1,-2 \right)}\)
Definiuje sobie jakieś:
\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb R}\)
następnie :
\(\displaystyle{ \vec{u}=\alpha\cdot \vec{v} + \beta \cdot \vec{w} + \gamma \cdot \vec{t}}\)
dostaje taki układ równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1=3\alpha + \gamma \\ 2=\alpha - 3\beta - 2\gamma \end{cases}}\)
No i odrazu sobie myślę, 3 niewiadome i tylko 2 równania, próbuję rozwiązać mimo to, no ale się nie da. Dostaję :
\(\displaystyle{ \gamma = -1 -3\alpha}\)
\(\displaystyle{ \beta = \frac{7}{3}\alpha}\)
Mam potraktować to zadanie tak, że w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\) wystarczy jak przedstawie ten wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) za pomocą dwóch np. \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) czy jednak da się to rozwiązać ?

[yorgin]

No i odrazu sobie myślę, 3 niewiadome i tylko 2 równania, próbuję rozwiązać mimo to, no ale się nie da. Dostaję :
\(\displaystyle{ \gamma = -1 -3\alpha}\)
\(\displaystyle{ \beta = \frac{7}{3}\alpha}\)

Jak się nie da? Przecież powyższe to właśnie rozwiązanie.

Mam potraktować to zadanie tak, że w \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\) wystarczy jak przedstawie ten wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) za pomocą dwóch np. \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\)

Możesz, ale wektory \(\displaystyle{ w}\) oraz \(\displaystyle{ v}\) należy wybrać z głową, tj tak, by nie były liniowo zależne.

czy jednak da się to rozwiązać ?

Da się, najszybciej zauważywszy, że \(\displaystyle{ u=-t}\). I to jest koniec zadania.

[blade]

Czyli jakbym napisał :
\(\displaystyle{ \vec{u}=0\cdot\vec{v}+0\cdot\vec{w}-1\vec{t}}\)
to zadanie byłoby dobrze rozwiązane ?
Tzn. bez pisania układu równań itp.

[yorgin]

Tak.

Wynikający z rozwiązania układu zapis \(\displaystyle{ \vec{u}=\alpha \vec{v}+\frac{7}{3}\alpha\vec{w} +(-1-\alpha)\vec{t}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\) jest ogólniejszy i gdyby padło pytanie o wszystkie możliwe reprezentacje wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) za pomocą podanych, to wtedy należałoby podać właśnie taki zapis. Sprawdź jeszcze tylko, co dostaniesz, gdy podstawisz \(\displaystyle{ \alpha=0}\).

[blade]

Tak.
Sprawdź jeszcze tylko, co dostaniesz, gdy podstawisz \(\displaystyle{ \alpha=0}\).

no tak, wtedy \(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0 \\ \beta=0 \\ \gamma = -1 \end{cases}}\)

Rozumiem, że na kolokwium lepiej będzie jeśli w takim przypadku napiszę :

\(\displaystyle{ \vec{u}=\alpha \vec{v}+\frac{7}{3}\alpha\vec{w} +(-1-\alpha)\vec{t}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\)

i napiszę, że
\(\displaystyle{ \vec{u}=0\cdot\vec{v}+0\cdot\vec{w}-1\vec{t}}\) ?

[yorgin]

Rozumiem, że na kolokwium lepiej będzie jeśli w takim przypadku napiszę
(...)

Tego nie wiem. Należałoby zapytać autora zadania (na sprawdziane - prowadzącego zajęcia) czy chodzi mu o przykład rzeczonej kombinacji, czy o wskazanie wszystkich możliwych. Ja Ci tutaj nie pomogę ponad zaznaczenie, że można podać dwa rozwiązania, oba poprawne choć stosowane tylko do konkretnej sytuacji. Pytaj prowadzącą/prowadzącego zajęcia. Warto rozwiewać takie wątpliwości.