Układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi

[marcin1509]

Mam do rozwiązania następujący układ równań. Ma cztery równania i pięć niewiadomych, więc
automatycznie w tym wypadku wyklucza użycie metody Cramera (chyba że bym to przekształcił, tyle że nie mam pojęcia jak).

\(\displaystyle{ \begin{cases}
2u+3w+x+4y-9z = 17\\
u+w+x+y-3z = 6\\
u+w+x+2y-5z=8\\
2u+2w+2x+3y-8z=14\\
\end{cases}}\)

Stworzyłem macierz współczynników :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}2&3&1&4&-9&17\\1&2&3&1&-3&6\\1&1&1&2&-5&8\\2&2&2&3&-8&14 \end{array}\right]}\)

Kolejnym etapem powinno być doprowadzenie do macierzy schodkowej, albo jak kto woli - wyznaczenie rzędu macierzy. Może mi ktoś objaśnić, jak to zrobić ? Znam operacje elementarne, ale niestety nie ważne, jak mnożę, dodaję wiersze, nic mi nie wychodzi.

Pozdrawiam

[Premislav]

Można użyć metody eliminacji Gaussa, np.zamień miejscami wiersz drugi z pierwszym, potem od wszystkich wierszy prócz "nowego" pierwszego odejmij taką krotność "nowego" pierwszego (czyli drugiego w tej zapisanej przez Ciebie macierzy), by wyzerować pozostałe współczynniki w pierwszej kolumnie. Potem wybierz któryś z tych wierszy z wyzerowanym współczynnikiem w pierwszej kolumnie, zamieniając wiersze ustaw go w drugim wierszu, a następnie odejmij jego krotności od innych wierszy, tak by wszystkie współczynniki w drugiej kolumnie oprócz tego z drugiego wiersza się wyzerowały, etc.
Na koniec dostaniesz rozwiązanie w postaci parametrycznej (z jedną ze zmiennych jako parametrem) albo okaże się, że układ jest sprzeczny.

[marcin1509]

Dzięki, coś mi rozjaśniłeś. Oto co mi wyszło (nie mam pojęcia czy w ogóle tak może wyjść) :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&1&-3&6\\0&-1&-5&2&3&5\\0&0&-3&-3&-1&-5\\0&0&0&2&-6&-2 \end{array}\right]}\)

Postać schodkowa wyszła niby, ale nie wiem czy tak powinno być i jak mam to rozwiązać. Trzeba podstawić parametry, od których będzie zależeć rozwiązanie, niestety, nie wiem jak to zrobić.

[Kacperdev]

Za \(\displaystyle{ z}\) weź parametr bo z tej postaci wychodzi, że rząd tej macierzy jest \(\displaystyle{ 4}\). Ponadto bez kolumny z "zetami" - więc mozesz za niego wziąc parametr.

[marcin1509]

czyli ... mniej więcej tak : (dla ostatniego równania)
\(\displaystyle{ 2y - 6z = -2}\) ?
Albo \(\displaystyle{ 2y - z = -2}\) ?
Nie mam pojęcia jak mam to podstawić , jeżeli nie tak, to jak ?

[Kacperdev]

Dobrze: \(\displaystyle{ 2y-6z=-2 \Rightarrow y=3z-1 \ z \in \RR}\) i tak po kolei.

[marcin1509]

Aha, czyli kolejne będą analogicznie :
\(\displaystyle{ u = -57z - 13 \\
w = -24z + 7 \\
x = -3z + 2 \\
y = 3z - 1}\) ?

[Kacperdev]

Tylko oczywiście wszystko w klamerke i opisać, że \(\displaystyle{ z \in \RR}\)

[marcin1509]

To jasne, pytam się tylko, czy dobrze wyliczyłem

[Kacperdev]

Sprawdziłem wyrywkowo dla \(\displaystyle{ z=0}\) i drugiego równania - coś się nie zgadza.
Widzę teraz, że w pierwszym poście zamieniając układ na macierz w drugim równaniu współczynniki wziąłeś z kosmosu.

[marcin1509]

też tak myślałem
Może to dlatego że całkowicie nie rozumiem tego

[Kacperdev]

To nie kwestia rozumienia... źle przepiałeś.
Zrób jeszcze raz... i spróbuj doprowadzić też do macierzy trójkątnej. Wszystko tak samo, tylko na innych danych.

[marcin1509]

[ciach - jestem bezlitosny]
Nie chcę tego przepisywać na forum, to dużo roboty.
Gdzie popełniłem błąd ?
Gdzieś na pewno go popełniłem, pewnie zrobiłem operację niedozwoloną, albo zrobiłem ją nie tak, jak potrzeba.

-- 13 lis 2014, o 22:11 --

Zamieniłem najpierw drugi z pierwszym wierszem z macierzy w pierwszym poście. Pomnożyłem przez (-2) pierwszy wiersz i dodałem do drugiego.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&2&3&1&-3&6 \\ 2&3&1&4&-9&17 \\ 1&1&1&2&-5&8 \\ 2&2&2&3&-8&14\end{array}\right]}\) .

Potem takie samo działanie zastosowałem do ostatniego wiersza.
Następnie pomnożyłem pierwszy wiersz przez -1 i dodałem do trzeciego.

potem \(\displaystyle{ w1 * (-2) + w3}\) i
\(\displaystyle{ w2 * (-1) + w2}\)

Obrazek przesłałem na maila, tutaj nie będę przepisywał, bo albo sam się pogubiłem, albo już nie wiem sam