Macierz do potęgi 3

[ZenekPOL]

Witam, uczę się dużo z książki samodzielnie.
Znalazłem w książce obliczony przykład macierzy do potęgi 3.
Na moje oko wynik powinien być inny dlatego wole was zapytać czy to ja jestem głupi czy to jakiś błąd w książce.

\(\displaystyle{ A^{3} = \left[\begin{array}{cc}-1&3\\0&2\end{array}\right]^{3} = \left[\begin{array}{cc}-1&9\\0&8\end{array}\right]}\)

Czy to jest dobrze?
Bo w.g mnie wynik powinien być : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-1&27\\0&8\end{array}\right]}\)

[szw1710]

Fajnie by było, łatwo i przyjemnie. Jednak życie płata figle.

Spróbuj sobie przypomnieć, jak mnożymy macierze przez siebie. Najpierw oblicz \(\displaystyle{ A\cdot A}\), potem wynik pomnóż przez \(\displaystyle{ A}\).

[ZenekPOL]

Dokładnie tak zrobiłem, A \(\displaystyle{ \cdot}\) A = wynik , wynik \(\displaystyle{ \cdot}\) A i wychodzi moja wersja a nie ta w książce.

[szw1710]

No to źle pojmujesz mnożenie macierzy. Pokaż jak wyliczasz \(\displaystyle{ A\cdot A}\).

[ZenekPOL]

O shit, głupio pomyślałem że macierze 2x2 możemy wykonać podobnie jak np. sumę macierzy.
Myślałem że metoda Falka jest do większych macierzy, teraz już wiem że źle myślałem. To ja jestem głupi
Wszystko zgadza.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \left( -1-\lambda\right)\left( 2-\lambda\right)=0\\
-2+\lambda-2\lambda+\lambda^2=0\\
\lambda^2-\lambda-2=0\\
\lambda^2=\lambda+2\\
A^2=A+2I\\
A^3=\left( A+2I\right)A\\
A^3=A^2+2A\\
A^3=A+2I+2A\\
A^3=3A+2I}\)

W przypadku większych potęg stosuje się rozkład

\(\displaystyle{ A=P\Lambda P^{-1}}\)

Kolumny macierzy \(\displaystyle{ P}\) to wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)
Macierz \(\displaystyle{ \Lambda}\) do macierz diagonalna z wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\)
na głównej przekątnej
Więcej informacji znajdziesz gdy poczytasz o diagonalizacji macierzy