Baza i wymiar macierzy

[Yacgio]

Witam, proszę o pomoc w następującym zadaniu:

Udowodnij, że podany zbiór jest przestrzenią liniową oraz określ wymiar i znajdź jej bazę:
a)\(\displaystyle{ \{(x,y,z) ε R^3 : x+y+z= 0\}}\)
b)\(\displaystyle{ \{(x,y,z,t)ε R^4 : x+y= z+t\}}\)
c)\(\displaystyle{ \{(x,y,z,t)ε R^4 : x-y+t= 0, z-x= t\}}\)

[Poszukujaca]

Jakie są warunki na przesztrzeń liniową?

Jeśli masz podany jeden warunek między trzema zmiennymi to można domyślić się, że baza będzie składała się z dwóch wektorów.-- 10 lis 2014, o 19:57 --\(\displaystyle{ x+y=-z}\)

\(\displaystyle{ (x,y,-x-y)=(x,0,-x)+(0,y,-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)}\)

[Yacgio]

Właśnie nie za bardzo znam, i nie mogę znaleźć tych warunków. Doszukałem się tego, że podana struktura musi być grupą...

[Poszukujaca]

[sebnorth]

b) \(\displaystyle{ W = \{(x,y,z,t)ε R^4 : x+y= z+t\}}\)

wektory \(\displaystyle{ (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,-1)}\) należą do \(\displaystyle{ W}\)

są liniowo niezależne, ułożone jako wiersze tworzą macierz schodkową

jeśli \(\displaystyle{ (x,y,z,t) \in W}\) to

\(\displaystyle{ (x,y,z,t) = (x,y,z,x+y-z) = x\cdot (1,0,0,1) +y \cdot (0,1,0,1) + z\cdot (0,0,1,-1)}\)

Zatem wektory \(\displaystyle{ (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,-1)}\) generują \(\displaystyle{ W}\)

\(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią:

\(\displaystyle{ w_1 = (x_1,y_1,z_1,t_1), w_2= (x_2,y_2,z_2,t_2) \in W}\)

\(\displaystyle{ w_1 + w_2 = (x_1 + x_2,y_1 + y_2,z_1 + z_2,t_1 + t_2)}\)

\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = x_1 + y_1 + x_2 + y_2 =}\)

\(\displaystyle{ = z_1 + t_1 + z_2 + t_2 = z_1 + z_2 + t_1 + t_2}\)

czyli \(\displaystyle{ w_1 + w_2 \in W}\)

jeszcze łatwie sprawdzić, że \(\displaystyle{ k w \in W}\) dla \(\displaystyle{ w \in W, k \in \RR}\)

[Yacgio]

Poszukująca dla jakich wektorów mam to sprawdzać?
sebnorth czemu sprawdzasz dla W jako podprzestrzeni? a w poleceniu jest udowodnic, że to przestrzeń?

[Kacperdev]

Podprzestrzeń jest przestrzenią.

[sebnorth]

poszedłem od końca ale można przesunąć sprawdzanie warunków podprzestrzeni na początek

operowałem wektorami nie zakładając że \(\displaystyle{ W}\) to podprzestrzeń

[Poszukujaca]

Poszukująca dla jakich wektorów mam to sprawdzać?
sebnorth czemu sprawdzasz dla W jako podprzestrzeni? a w poleceniu jest udowodnic, że to przestrzeń?

Wektorów z kombinacji: \(\displaystyle{ (1,0-1), (0,1,-1)}\)

[Yacgio]

a jak wyznaczyć wymiar tego?

[Kacperdev]

A jaka jest definicja wymiaru?

[Yacgio]

Największa liczba niezależnych wierszy lub kolumn.

Czyli mam policzyć rząd dla macierzy złożonej z tych wektorów? Kacperdev,

[yorgin]

Abstrahując nieco od tego, co koledzy wyżej napisali, przeczytaj w wolnym czasie (każdy ma ponad 20 postów...) dwa poniższe tematy:

353441.htm

353310.htm

Poruszana jest w nich tematyka, z którą się borykasz.