Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową, określ jej wymiar

[Kacperdev]

Uogólnij to dla \(\displaystyle{ n \neq 2}\).

\(\displaystyle{ \alpha + \gamma = \alpha + \beta \Rightarrow \gamma = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \gamma = \beta + \gamma \Rightarrow \alpha = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \gamma = \beta = 0}\)

Z tego wcale nie wynika: \(\displaystyle{ \alpha = \gamma = \beta = 0}\).

Napisanie, że analogicznie dla \(\displaystyle{ n>2}\) jest kiepskim uogólnieniem. Działaj na "enach".

[Jan Kraszewski]

Przyjąłem złe założenia na początku, sądziłem, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) nasz wektor będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ y_1 = x_1 + x_1}\)
Stąd moje błędne przekonanie co do jego liniowej zależności.

Źle sądziłeś, ale gdyby \(\displaystyle{ y_1 = x_1 + x_1}\), to w żaden sposób nie zmienia to wniosku dotyczącego liniowej niezależności \(\displaystyle{ y_1}\) - jeden wektor zawsze jest liniowo niezależny...

Z tego wcale nie wynika: \(\displaystyle{ \alpha = \gamma = \beta = 0}\).

Wynika, tylko opuszczone jest jedno przejście.

Pokazałeś zatem, że dla \(\displaystyle{ n=3}\) wektory \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3}\) sa liniowo niezależne, czyli tworzą bazę.

Popatrz teraz, kiedy masz bazę, a kiedy nie. Jakaś propozycja uogólnienia?

JK

[Kacperdev]

Z tego wcale nie wynika: \(\displaystyle{ \alpha = \gamma = \beta = 0}\).

Wynika, tylko opuszczone jest jedno przejście.

O to jedno przejście właśnie mi chodziło Panie Janie. Wydaję mi się, że kolega po prostu nie do końca jest świadomy tego wynikania.

[radeck0]

Popatrz teraz, kiedy masz bazę, a kiedy nie. Jakaś propozycja uogólnienia?

Zgodnie z definicją, zbiór jest bazą przestrzeni, kiedy jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym.

Postawiliśmy już teorię, że dla \(\displaystyle{ n \neq 2}\) nasze wektory są bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ X}\), a mamy wektory:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2, ... , x_{n-1} + x_n, x_n + x_1}\)

ale uogólnienie dla \(\displaystyle{ n}\)... trochę nie mam pomysłu. Mała podpowiedź?

[Jan Kraszewski]

Postawiliśmy już teorię, że dla \(\displaystyle{ n \neq 2}\) nasze wektory są bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ X}\), a mamy wektory:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2, ... , x_{n-1} + x_n, x_n + x_1}\)

Sprawdź tę teorię dla \(\displaystyle{ n=4}\).

JK

[radeck0]

\(\displaystyle{ \alpha(x_1 + x_2) + \beta(x_2 + x_3) + \gamma(x_3 + x_4) + \delta(x_4 + x_1) = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha x_1 + \alpha x_2 + \beta x_2 + \beta x_3 + \gamma x_3 + \gamma x_4 +
\delta x_4 + \delta x_1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (\alpha + \delta)x_1 + (\alpha + \beta)x_2 + (\beta + \gamma)x_3 + (\gamma + \delta)x_4 = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \delta = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 0}\)
\(\displaystyle{ \beta + \gamma = 0}\)
\(\displaystyle{ \gamma + \delta = 0}\)

\(\displaystyle{ \alpha + \delta = \alpha + \beta \Rightarrow \delta = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = \beta + \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma}\)
\(\displaystyle{ \gamma + \delta = \beta + \gamma \Rightarrow \delta = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \gamma = \beta = \delta = 0}\)

A gdybyśmy tak:
\(\displaystyle{ a_1 = \alpha, a_2 = \beta ...}\)

\(\displaystyle{ (a_1 + a_4)x_1 + (a_1 + a_2)x_2 + (a_2 + a_3)x_3 + (a_3 + a_4)x_4 = 0}\)

to mamy
\(\displaystyle{ (a_1 + a_n)x_1 + (a_1 + a_2)x_2 + ... + (a_{n-1} + a_{n})x_n = 0}\)
\(\displaystyle{ a_1 + a_n = 0}\)
\(\displaystyle{ a_1 + a_2 = 0}\)
\(\displaystyle{ a_2 + a_3 = 0}\)
...
\(\displaystyle{ a_i + a_{i+1} = 0}\)
...
\(\displaystyle{ a_{n-1} + a_n = 0}\)

I

\(\displaystyle{ a_{i-1} + a_{i} = a_{i} + a_{i+1}}\)

a wcześniej pokazaliśmy, że \(\displaystyle{ a_i + a_{i+1} = 0}\), więc każdy skalar się zeruje.

Można uznać to za dowód dla \(\displaystyle{ n \neq 2}\)?(Oczywiście wcześniej pokazując co się z akurat tym przypadkiem dzieje)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \alpha(x_1 + x_2) + \beta(x_2 + x_3) + \gamma(x_3 + x_4) + \delta(x_4 + x_1) = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha x_1 + \alpha x_2 + \beta x_2 + \beta x_3 + \gamma x_3 + \gamma x_4 +
\delta x_4 + \delta x_1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (\alpha + \delta)x_1 + (\alpha + \beta)x_2 + (\beta + \gamma)x_3 + (\gamma + \delta)x_4 = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \delta = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 0}\)
\(\displaystyle{ \beta + \gamma = 0}\)
\(\displaystyle{ \gamma + \delta = 0}\)

\(\displaystyle{ \alpha + \delta = \alpha + \beta \Rightarrow \delta = \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = \beta + \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma}\)
\(\displaystyle{ \gamma + \delta = \beta + \gamma \Rightarrow \delta = \beta}\)
\(\displaystyle{ \red\alpha = \gamma = \beta = \delta = 0\black}\)

Oszukujesz. Nie pisz tego, co chciałbyś, by Ci wyszło, tylko to, co wychodzi.

JK

[radeck0]

\(\displaystyle{ \red\alpha = \gamma = \beta = \delta = 0\black}\)

Oszukujesz. Nie pisz tego, co chciałbyś, by Ci wyszło, tylko to, co wychodzi.

JK

\(\displaystyle{ \alpha = -\beta = \gamma = -\delta = 0}\)

Przyznaje się do błędu, ale zdaje się, że to nic nie zmienia w moim zadaniu?
\(\displaystyle{ -\alpha = -1 \cdot \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 0 = -1 \cdot 0 = -\alpha}\)
Reszta dla \(\displaystyle{ n}\) się zgadza?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \alpha = -\beta = \gamma = -\delta\red = 0\black}\)

Dalej oszukujesz.

JK

[radeck0]

Teraz, prawdę mówiąc, zgłupiałem.

Skoro potwierdził Pan, że tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\) te wektory są liniowo zależne,

Wiec.. tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\) nasze wektory nie sa baza, tak?(poniewaz sa zalezne) Prosze tylko o potwierdzenie, czy moja teoria jest poprawna.

Tak.

to oznacza to, że reszta nie jest. A skoro nie jest, to skalary muszą (?) być zerowe. Więc... w czym rzecz?

[Jan Kraszewski]

Skoro potwierdził Pan, że tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\) te wektory są liniowo zależne,

Wiec.. tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\) nasze wektory nie sa baza, tak?(poniewaz sa zalezne) Prosze tylko o potwierdzenie, czy moja teoria jest poprawna.

Tak.

To jakieś nieporozumienie. Wtedy twierdziłeś, że

Dlaczego ma sie nijak? Sadzilem wtedy, ze 1 jest zalezny, wiec baza nie jest.

Wiec.. tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\) nasze wektory nie sa baza, tak?(poniewaz sa zalezne) Prosze tylko o potwierdzenie, czy moja teoria jest poprawna.

co jednoznacznie odniosłem tylko do przypadków \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\), bo ogólnej sytuacji w ogóle wtedy nie badałeś. Z tych dwóch przypadków tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\) wektory nie są bazą.

A skoro nie jest, to skalary muszą (?) być zerowe. Więc... w czym rzecz?

Co to znaczy "muszą"? Nie dopasowywuj rzeczywistości do swoich oczekiwań, tylko ją badaj.

JK

[radeck0]

Napisałem "muszą", bo odniosłem się do naszego nieporozumienia, w którym zrozumiałem, że tylko dla dwójki (w ogólnym znaczeniu) będą zależne.

Więc co z resztą "enów"?
Wiedząc, że \(\displaystyle{ a_{i-1} = -a_{i}}\). Co możemy z tego wywnioskować? Że jednak są zależne, bo możemy podstawić tam cokolwiek?

[Jan Kraszewski]

Więc co z resztą "enów"?

Z jaką resztą? Na razie nie poradziłeś sobie z \(\displaystyle{ n=4}\).

Wiedząc, że \(\displaystyle{ a_{i-1} = -a_{i}}\).

W ogólności tego nie wiesz, tylko dla \(\displaystyle{ n=4}\).

Co możemy z tego wywnioskować? Że jednak są zależne, bo możemy podstawić tam cokolwiek?

Jeżeli uważasz, że są zależne, to podaj konkretne skalary nie (wszystkie) równe zero, które zerują tę kombinację liniową.

JK