Równania macierzowe- 2 sposoby

wmdanio · Post autor: **wmdanio** » 8 lis 2014, o 19:39

Witam, mam pewien problem ponieważ nie jestem pewien czy dobrze rozwiązuję te oto równania, a mianowicie:

\(\displaystyle{ A(2X+B)=B-2A}\) to równanie próbuję tak przekształcać, żeby z lewej strony był tylko X, więc robię tak:
obliczam wartość macierzy \(\displaystyle{ B-2A}\) ( wynik nazwijmy C), później:
mnożę lewostronnie przez macierz odwrotną do A czyli:
\(\displaystyle{ A(2X+B)=C/ \cdot A^{-1}}\) z lewej strony

\(\displaystyle{ 2X+B=A^{-1} \cdot C}\)

\(\displaystyle{ 2X=A^{-1} \cdot C+B}\)

\(\displaystyle{ X=\frac{1}{2}(A^{-1} \cdot C+B)}\)

i to jest mój pierwszy sposób, robiąc drugim wychodzi mi zupełnie inny wynik, a robię to tak:
\(\displaystyle{ A(2X+B)=B-2A}\)
przemnażam A przez nawias i dostaję:
\(\displaystyle{ 2AX+AB=B-2A}\)
\(\displaystyle{ AB}\) nazwijmy jako \(\displaystyle{ C}\),a \(\displaystyle{ B-2A}\) jako \(\displaystyle{ D}\)
\(\displaystyle{ 2AX+C=D}\)
\(\displaystyle{ 2AX=D-C}\)
\(\displaystyle{ D-C}\) nazwijmy jako \(\displaystyle{ E}\)
\(\displaystyle{ 2AX=E/ \cdot A^{-1}}\) z lewej strony

\(\displaystyle{ 2AX=A^{-1} \cdot E}\)

\(\displaystyle{ X=\frac{1}{2} (A^{-1} \cdot E)}\)

mógłby ktoś sprawdzić poprawność wykonania działań i powiedzieć mi, który ze sposobów jest prawidłowy?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 lis 2014, o 19:50

wmdanio pisze: \(\displaystyle{ 2X+B=A^{-1} \cdot C}\)

\(\displaystyle{ 2X=A^{-1} \cdot C+B}\)

Tu jest błąd. Pali w oczy

Wprowadzenie macierzy \(\displaystyle{ C}\) jest bezsensowne.

wmdanio pisze: \(\displaystyle{ A(2X+B)=B-2A}\)
przemnażam A przez nawias i dostaję:
\(\displaystyle{ 2AX+AB=B-2A}\)
\(\displaystyle{ AB}\) nazwijmy jako \(\displaystyle{ C}\),a \(\displaystyle{ B-2A}\) jako \(\displaystyle{ D}\)
\(\displaystyle{ 2AX+C=D}\)
\(\displaystyle{ 2AX=D-C}\)
\(\displaystyle{ D-C}\) nazwijmy jako \(\displaystyle{ E}\)
\(\displaystyle{ 2AX=E/ \cdot A^{-1}}\) z lewej strony

\(\displaystyle{ 2AX=A^{-1} \cdot E}\)

\(\displaystyle{ X=\frac{1}{2} (A^{-1} \cdot E)}\)

To rozwiązanie również jest bezsensowne - wprowadzasz 3 nowe oznaczenia, które tylko komplikują rozwiązanie i nie podajesz końcowego wyłącznie zależnego od \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\).

wmdanio · Post autor: **wmdanio** » 8 lis 2014, o 19:53

używając określeń C, D, E nie wprowadzam "nowych oznaczeń" tylko zamiast pisać B-2A nazwałem to jako C itd

-- 8 lis 2014, o 20:56 --

to może inaczej, które rozwiązanie jest dobre:

\(\displaystyle{ (A+3X)B=C/ \cdot B ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A+3X=C \cdot B ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ 3X=C \cdot B ^{-1}-A}\)
\(\displaystyle{ X= \frac{1}{3}(C \cdot B ^{-1}-A)}\)

czy

\(\displaystyle{ (A+3X)B=C}\)
\(\displaystyle{ AB+3XB=C}\)
\(\displaystyle{ 3XB=C-AB}\)
\(\displaystyle{ 3X=(C-AB) \cdot B ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X= \frac{1}{3}(C-AB ) \cdot B ^{-1}}\)

w tym drugim przypadku odejmuję macierz \(\displaystyle{ C}\)od macierzy \(\displaystyle{ AB}\), a otrzymany wynik mnożę przez macierz odwrotną \(\displaystyle{ B}\), jeśli natomiast przemnożę nawias przez \(\displaystyle{ B ^{-1}}\), to otrzymuję wynik taki sam jak w pierwszym sposobie

wychodzą mi różne wyniki, i nie mam pojęcia, który sposób jest dobry ;/

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 9 lis 2014, o 00:14

To nie są różne wyniki.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 9 lis 2014, o 09:54

wmdanio pisze:używając określeń C, D, E nie wprowadzam "nowych oznaczeń" tylko zamiast pisać B-2A nazwałem to jako C itd

Nazywając coś inną literą, wprowadzasz właśnie nowe oznaczenie. Wynik wolny od \(\displaystyle{ C, D, E}\) to wynik właściwy, tj wolny od nazywania/oznaczania pewnym obiektów innymi literami.

wmdanio pisze: wychodzą mi różne wyniki, i nie mam pojęcia, który sposób jest dobry ;/

Jak wyżej, w obu przypadkach masz to samo. Wystarczy w drugim pomnożyć nawias przez macierz \(\displaystyle{ B^{-1}}\).