Proszę o pomoc w tym zadaniu:
Dane są macierze \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 0&0&-1\\1&0&1\end{bmatrix}}\). W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{2,3}}\) rozważamy podzbiór \(\displaystyle{ Z = \left\{ M \in R^{2,3} : A \cdot M \cdot B^{T} = B \cdot M^{T} \right\}}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ Z}\) jest podprzestrzenią liniową, określ jej wymiar i znajdź jej bazę.
Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową.
Jakieś próby?
Ustal jakąś macierz \(\displaystyle{ M}\) (swoją drogą dziwne określenie przestrzeni macierzy dwa na trzy)
i wykonaj działania na warunku przestrzeni. Powstanie Ci układ równań z którego już łatwiej będzie działać.
Wydaje się to być korzystną metodą, gdyż dane macierze \(\displaystyle{ A, B}\) mają w sobie dużo zer.
Ustal jakąś macierz \(\displaystyle{ M}\) (swoją drogą dziwne określenie przestrzeni macierzy dwa na trzy)
i wykonaj działania na warunku przestrzeni. Powstanie Ci układ równań z którego już łatwiej będzie działać.
Wydaje się to być korzystną metodą, gdyż dane macierze \(\displaystyle{ A, B}\) mają w sobie dużo zer.
Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową.
Można to jakoś bardziej krok po kroku rozpisać? Nie wiem, jak robić tego typu zadania i chciałem przyjrzeć się jak po kolei to zapisać.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową.
Ustalasz macierz \(\displaystyle{ M}\):
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right]}\)
następnie wykonujesz działanie:
\(\displaystyle{ A \cdot M \cdot B^{T} = B \cdot M^{T}}\)
Podstawiając za \(\displaystyle{ A,B}\) dane z polecenia macierze, a za macierz \(\displaystyle{ M}\) to co wyżej.
Zakładam, że umiesz mnożyć macierze i wiesz co to znaczy macierz transponowana. Na wiki jakby co jest ładnie wytłumaczone.
Jak to zrobisz to bedziemy mogli ruszyć dalej.
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right]}\)
następnie wykonujesz działanie:
\(\displaystyle{ A \cdot M \cdot B^{T} = B \cdot M^{T}}\)
Podstawiając za \(\displaystyle{ A,B}\) dane z polecenia macierze, a za macierz \(\displaystyle{ M}\) to co wyżej.
Zakładam, że umiesz mnożyć macierze i wiesz co to znaczy macierz transponowana. Na wiki jakby co jest ładnie wytłumaczone.
Jak to zrobisz to bedziemy mogli ruszyć dalej.
Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową.
Rozwiązując układ równań wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{13}=a_{23} \\ 2a_{23}+a_{21}=0 \\ a_{11}=0 \end{cases}}\)
Nie wiem, co dalej.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{13}=a_{23} \\ 2a_{23}+a_{21}=0 \\ a_{11}=0 \end{cases}}\)
Nie wiem, co dalej.
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Pokaż, że jest podprzestrzenią liniową.
Ufam, że to poprawny wynik.
Zatem macierz ma postać:
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}0&a_{12}&a_{23}\\-2a_{23}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right] \in Z \hbox{, oraz } \bigwedge\limits_{1 \le i,j \le 3} a_{ij} \in \RR}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}0&a_{12}&a_{23}\\-2a_{23}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right]= a_{12} \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right] + a_{23} \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\-2&0&1\end{array}\right]+a_{22} \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\end{array}\right]}\)
Zatem macierz ma postać:
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}0&a_{12}&a_{23}\\-2a_{23}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right] \in Z \hbox{, oraz } \bigwedge\limits_{1 \le i,j \le 3} a_{ij} \in \RR}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ M = \left[\begin{array}{ccc}0&a_{12}&a_{23}\\-2a_{23}&a_{22}&a_{23}\end{array}\right]= a_{12} \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right] + a_{23} \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\-2&0&1\end{array}\right]+a_{22} \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\end{array}\right]}\)