Wyznacznik macierzy

[ewciak]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}
n&n&n&\ldots&n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
3&3&3&\ldots&0 \\
2&2&0&\ldots&0 \\
1&0&0&\ldots&0
\end{array}\right|}\)

Muszę obliczyć wyznacznik tej macierzy. I wydawało mi się, że jest to dosyć banalne i korzystając z faktu, że wyznacznik macierzy trójkątnej to iloczyn elementów na jej głównej przekątnej, otrzymujemy \(\displaystyle{ n!}\)
Jednak ku mojemu zdziwieniu, odpowiedź brzmi : \(\displaystyle{ \left( -1\right)^{E\left( \frac{n}{2}\right)}\cdot n!}\)

Czy ktoś może mi wytłumaczyć, skąd taka odpowiedź?

[yorgin]

Taka dziwna odpowiedź to efekt permutacji wierszy. \(\displaystyle{ n!}\) dostanieszm, gdy liczysz macierz, w której odwrócisz kolejność wierszy (ostatni będzie pierwszy, przedostatni będzie drugi itp). Każda zmiana dwóch wierszy dodaje \(\displaystyle{ (-1)}\) do wyznacznika. Takich zmian musisz zrobić \(\displaystyle{ E\left( \frac{n}{2}\right)}\). Stąd też taki wynik.

[ewciak]

Dzięki wielkie!