Wyznaczanie wielomianu

[kam51]

Wyznacz wielomian \(\displaystyle{ f \in R[x] _{4}}\) wiedząc że \(\displaystyle{ f(-2)=10, f(1)=4, f(-3)=60, f(2)=-10, f(-1)=-3}\). Wiem, że ta funkcja jest nieparzysta, ale jak to napisać tak sensownie i żeby nie można się było do czegoś przyczepić? Ewentualnie czy ma ktoś jakieś rozwiązanie tego zadania inaczej?

[musialmi]

A skąd wiadomo, że nieparzysta?
Rozwiązanie inaczej: napisz postać ogólną wielomianu i podstawiaj odpowiednie iksy. Otrzymaj z tego układ równań. Rozwiąż go.

[kerajs]

Nie wiem co oznacza zapis \(\displaystyle{ f \in R[x] _{4}}\)
To wielomian czwartego stopnia?

Jeśli tak to\(\displaystyle{ W(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E}\)
Wstawiasz dane i masz układ 5 równań liniowych z 5 niewiadomymi.
Dodatkowo \(\displaystyle{ f(1)=4, f(-1)=-3}\) pokazuje że to nie jest f. nieparzysta.

[kam51]

Oj kurde, błąd, tam miało być że \(\displaystyle{ f(-1)=-4}\)

[musialmi]

Nie wiem co oznacza zapis \(\displaystyle{ f \in R[x] _{4}}\)

f należy do przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej 4.

[kam51]

musialmi ale to muszę koniecznie wtedy zapisywać jako wielomian stopnia 4 i później ewentualnie jakoś to zredukować?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \forall _{x \in \RR} W(x)=-W(-x) \Rightarrow Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=-(Ax^4-Bx^3+Cx^2-Dx+E) \Rightarrow W(x)=Bx^3+Dx}\)

[musialmi]

Oj kurde, błąd, tam miało być że \(\displaystyle{ f(-1)=-4}\)

To i tak nie daje jeszcze parzystości funkcji.
kam51, ja ci podaję sposób, którym na pewno dojdziesz do celu. Są inne, np. zgadywanie.

[kam51]

musialmi chyba nieparzystość. układ równań z 5 niewiadomymi... dużo macierzy do liczenia ;/

[musialmi]

Pytaniem jest: czy "wiem, że funkcja jest nieparzysta" to założenie z zadania, czy twój wniosek z podanych wartości funkcji? Bo jeśli założenie z zadania, to skorzystaj ze wskazówki kerajsa. Jeśli to twój wniosek, to chyba trochę pochopnie wyciągnięty. Nie wiem czy łatwo pokazać tutaj nieparzystość, ale jeśli tak, to to zrób i wtedy to, co napisał kerajs. A czy łatwo - możesz dojść do tego sam albo poczekać aż napisze to ktoś bardziej doświadczony ode mnie

[kerajs]

Hipotezę o nieparzystości można zweryfikować wstawiając do \(\displaystyle{ W(x)=Bx^3+Dx}\) po jednym z ,,symetrycznych' punktów i punkt \(\displaystyle{ (-3,60)}\)otrzymując układ 3 równań z 2 niewiadomymi . Jeśli wyjdzie układ sprzeczny to wielomian nie jest nieparzysty i wracasz do układu 5 równań z 5 niewiadomymi. A gdy będzie oznaczony to będziesz już miał wyliczone jego współczynniki.

[Ponewor]

A standardowo to wykonać interpolację wielomianową należy, algorytm przystępnie jest opisany na wikipedii.

[musialmi]

kerajs, a to nie jest tak, że mogę za pomocą tych pięciu punktów skonstruować zarówno wielomianu parzystego, jak i nieparzystego?

[Ponewor]

Na pewno nie skontruujesz wielomianu parzystego - \(\displaystyle{ f\left(1\right) \neq f\left(-1\right)}\)

[musialmi]

Oj kurde, błąd, tam miało być że \(\displaystyle{ f(-1)=-4}\)

Autor to dopisał.

Ale masz rację, już dla \(\displaystyle{ \pm 2}\) się nie zgadza.
W takim razie pytanie jest inne: czy można skonstruować z tego wielomian nie nieparzysty? Albo bardziej ogólniejsze pytanie: czy 5 punktów wielomianu oraz maksymalny stopień wielomianu wyznaczają razem tylko jeden wielomian? Wydaje się, że nie, jeśli pomyśli się o wykresie (przynajmniej mi się tak wydaje). Jednak do rozwiązania w tym zadaniu jest układ równań z pięcioma niewiadomymi, z czego każde równanie jest liniowe, więc odpowiedź nasuwa się sama - wyznaczony może być dokładnie jeden wielomian.
Zapewne kształt wykresu wielomianu jest z definicji bardziej dokładny niż mi się wydaje.