Kombinacje liniowe i ich elementy.

[Pablo201_5]

Witam,
Czy zawsze kiedy kombinacja liniowa jest trywialna to ma elementy liniowo niezależne?

I odwrotnie- czy zawsze kiedy kombinacja liniowa jest nietrywialna to ma elementy liniowo zależne?

Paweł

[bartek118]

Co rozumiesz przez trywialną kombinację liniową?

[Pablo201_5]

Kombinację liniową elementów \(\displaystyle{ v _{1}, v_{2}, ..., v_{n} \in V}\) o współczynnikach \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha {2}, ..., \alpha {n} \in K}\), gdzie K to skalary taką że \(\displaystyle{ v= v_{1} \alpha_{1}+ v_{2} \alpha _{2}+ ...+ v_{n} \alpha_{n} \alpha= 0}\) i \(\displaystyle{ \alpha _{1}=...= \alpha _{n}= 0}\)

[bartek118]

Więc jeżeli mamy kombinację liniową, która jest nietrywialna, to oczywiście wektory są liniowo zależne. Ale na odwrót nic nie znaczy. Trywialna kombinacja liniowa w taki sposób określona istnieje dla dowolnych wektorów, zarówno liniowo zależnych, jak i niezależnych.

[Pablo201_5]

Właśnie chyba nie bo elementy liniowo zależne to takie elementy dla których istnieje kombinacja liniowa nietrywialna v=0.

[bartek118]

Właśnie chyba nie bo elementy liniowo zależne to takie elementy dla których istnieje kombinacja liniowa nietrywialna v=0.

Zgadza się, czyli jest dokładnie tak jak napisałem.