Mnożenie macierzy- sprawdzaie dowodu

[kam51]

Zadanie jest takie:

Sprawdzić czy dla rzeczywistych macierzy kwadratowych \(\displaystyle{ A, B}\) zachodzi

a) \(\displaystyle{ (A+B) ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2}}\)

b) \(\displaystyle{ AB=BA \Rightarrow (A+B) ^{3} =A ^{3} +3A ^{2} B+3AB ^{2} +B ^{3}}\)

Niech \(\displaystyle{ AB=BA}\) sprawdzić czy

c) \(\displaystyle{ (AB) ^{2} =A ^{2} B ^{2}}\)

d) \(\displaystyle{ A ^{2} -B ^{2} =(A+B)(A-B)}\)

e) \(\displaystyle{ (A+B) ^{3} =A ^{} +3A ^{2} B+3AB ^{2} +B ^{3}}\)

Czy mógłby mi ktoś powiedzieć czy te równości zachodzą?

[musialmi]

c) \(\displaystyle{ (AB) ^{2} =A ^{2} B ^{2}}\)

To zachodzi. Ogólnie jest własność \(\displaystyle{ (AB)^2=B^2A^2}\), ale jeśli jest dodatkowe założenie o przemienności mnożenia...

EDIT:
Sorry, cofam to, pomyliło mi się z transponowaniem...

[kam51]

Czyli wychodziłoby że tylko 1 równość nie zachodzi? Btw. mógłbyś to jakoś ładnie pokolei rozpisać? W sensie to \(\displaystyle{ (AB) ^{2}=A ^{2}B ^{2}}\)

[musialmi]

EDIT:
Sorry, cofam to, pomyliło mi się z transponowaniem...

Taa...
Ale i tak to jest łatwe, bo:
\(\displaystyle{ A^2B^2=AABB=ABAB=(AB)^2}\), gdzie w drugim przejściu skorzystałem z tego dodatkowego założenia, a wcześniej z łączności mnożenia macierzy (bardzo istotna własność).

[kam51]

Czyli że zrobiłeś coś w tym stylu:

\(\displaystyle{ A ^{2} \cdot B ^{2}=(AA)(BB)=A(AB)B=A(BA)B=(AB)(AB)=(AB ^{2})}\) ?

[musialmi]

Zrobiłem dokładnie to (tylko na samym końcu wykładnik potęgi powinien być za nawiasem).

[kam51]

Ok, dzięki, bo nie byłem pewny czy można tak ten nawias w środku wrzucić

[musialmi]

skorzystałem z łączności mnożenia macierzy (bardzo istotna własność).

Łączność, czyli \(\displaystyle{ (ab)c=a(bc)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\). Możesz sobie dorzucić więcej literek na koniec i więcej równości, żeby mieć nawias w środku