Mam sprawdzić czy układ \(\displaystyle{ A=(3+i,1-i)}\) jest liniowo niezależny i czy jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V=\CC}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{K}=\RR}\). Drugi przykład mam taki sam tylko \(\displaystyle{ \mathbb{K}=\CC}\)
Robię tak:
1. Sprawdzam niezależność liniową:
\(\displaystyle{ \alpha (3+i)+\beta (1-i)=0 \Rightarrow \alpha=0 \wedge \beta=0}\)
Czyli jest liniowo niezależny. Nie wiem tylko jak teraz sprawdzić, czy układ \(\displaystyle{ A}\) jest bazą. Znam definicję, że musi zajść związek \(\displaystyle{ \Lin A=\RR}\) , ale nie wiem jak ją zastosować.
Sprawdzić czy układ jest bazą.
-
szw1710
Sprawdzić czy układ jest bazą.
W pierwszym przypadku masz zwyczajną przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) (tzn. obie przestrzenie są izomorficzne), przez co wektory \(\displaystyle{ (3,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,-1)}\) będąc liniowo niezależnymi, stanowią bazę. Oczywiście - musimy mieć jeszcze rozpinanie, ale wobec faktu, że inna baza \(\displaystyle{ \RR^2}\) ma dwa wektory, to i każda baza ma dwa wektory. A baza to maksymalny układ liniowo niezależny, przez co rozpinania sprawdzać nie trzeba.
W drugim przypadku sytuacja jest diametralnie inna. Ponieważ ciałem skalarów jest \(\displaystyle{ \CC}\), to oba wektory są proporcjonalne, czyli liniowo zależne. Więc przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \CC}\) rozważana nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ \CC}\) jest jednowymiarowa. Czy \(\displaystyle{ A}\) jest więc bazą?
W drugim przypadku sytuacja jest diametralnie inna. Ponieważ ciałem skalarów jest \(\displaystyle{ \CC}\), to oba wektory są proporcjonalne, czyli liniowo zależne. Więc przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \CC}\) rozważana nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ \CC}\) jest jednowymiarowa. Czy \(\displaystyle{ A}\) jest więc bazą?