Macierz diagonalizowalna i wartości własne

[ka79zik]

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ A \in M_{n}(R)}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ A^{2}=I}\), to \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna. Jakie mogą być wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

[yorgin]

Ja bym zaczął od drugiej części. Skorzystaj z faktu, że jeżeli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ \lambda^n}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A^n}\).

[robertm19]

Na pewno da się sprowadzić do macierzy Jordana, czyli mamy \(\displaystyle{ A=PJP^{-2}}\).
Stąd \(\displaystyle{ AA=I= PJ^2P^{-1}}\) stąd \(\displaystyle{ I=J^2}\).
Zobacz na jakimś przykładzie jak się mnoży macierze Jordana. Ponad przekątną będą jakieś wartość różne od zera, co będzie sprzeczne z \(\displaystyle{ I=J^2}\).