Równość macierzowa

Xeo · Post autor: **Xeo** » 25 paź 2014, o 15:10

Wiedząc, że \(\displaystyle{ AB=BA}\) sprawdź, czy \(\displaystyle{ (AB)^2=A^2B^2}\)
Doszedłem do \(\displaystyle{ ABAB=AABB}\) i trzeba teraz wykazać, czy to jest prawda. Próbowałem znaleźć kontrprzykład, ale się zgodziło. Co z tym zrobić?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 25 paź 2014, o 15:14

Pomnóż przez \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) z lewej strony, a potem przez \(\displaystyle{ B ^{-1}}\) z prawej, przy założeniach, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są odwracalne. To Ci eliminuje możliwość działających kontrprzykładów, w których obie macierze są odwracalne. Pomyśl, co z nieodwracalnymi (ew. z sytuacją, gdy tylko jedna z nich jest odwracalna). Może dla nich znajdziesz kontrprzykład.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 25 paź 2014, o 15:51

A po co tak. Wystarczy skorzystać z łączności monożenia
\(\displaystyle{ (AB)^2=ABAB=A(BA)B=A(AB)B=A^2B^2}\)

Zauważ, że odwracalnośc nie jest potrzebna