Niech \(\displaystyle{ e_{i}}\) dla i=1,...,n będą elementami bazy standardowej \(\displaystyle{ K^{n}}\). Znajdź wymiar i bazę podprzestrzeni rozpiętej przez wektory \(\displaystyle{ e_{i}}\) + \(\displaystyle{ e_{j}}\) dla 1 \(\displaystyle{ \le}\) i \(\displaystyle{ \le}\) j \(\displaystyle{ \le}\) n, jeśli \(\displaystyle{ K}\)=\(\displaystyle{ Q}\) oraz jeśli \(\displaystyle{ K}\)=\(\displaystyle{ Z_{2}}\)
Dzięki za pomoc.
Wymiar i baza podprzestrzeni
-
kammeleon18
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 36 razy
Wymiar i baza podprzestrzeni
Umieszczam podpowiedź.
\(\displaystyle{ V}\) będzie podprzestrzenią, o której mowa.
Rozważmy przypadki
1. \(\displaystyle{ K=\mathbb{Q}}\).
Wtedy wektor \(\displaystyle{ 2(e_1+e_2+e_3)}\) jest elementem \(\displaystyle{ V}\) jako suma trzech generatorów (których ?). Wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ 2^{-1} \in \mathbb{Q}}\), zatem \(\displaystyle{ e_1+e_2+e_3 \in V}\). Wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ e_1 \in V}\), \(\displaystyle{ e_2 \in V}\), \(\displaystyle{ e_3 \in V}\).
\(\displaystyle{ V}\) będzie podprzestrzenią, o której mowa.
Rozważmy przypadki
1. \(\displaystyle{ K=\mathbb{Q}}\).
Wtedy wektor \(\displaystyle{ 2(e_1+e_2+e_3)}\) jest elementem \(\displaystyle{ V}\) jako suma trzech generatorów (których ?). Wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ 2^{-1} \in \mathbb{Q}}\), zatem \(\displaystyle{ e_1+e_2+e_3 \in V}\). Wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ e_1 \in V}\), \(\displaystyle{ e_2 \in V}\), \(\displaystyle{ e_3 \in V}\).