Zbiory na płaszczyźnie

[Killaz]

Witam, mam zadanie o treści: "Co wyznaczają na płaszczyźnie zbiory: \(\displaystyle{ \left\{ x \in R ^{2} : x ^{T} x = c \right\}, \left\{ x \in R ^{2} : x ^{T} v = 0 \right\}, \left\{ x \in R ^{2} : x ^{T} 0 _{2} = 0 \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ c > 0 , v \in R ^{2}, v \neq 0 _{2}}\)

Mógłby ktoś wytłumaczyć jak się do tego zabrać, gdyż niewiele rozumiem?

[bartek118]

Co wyznaczają, czyli czym one są na płaszczyźnie. Na przykład pierwszy zbiór to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0_2}\) i promieniu \(\displaystyle{ c>0}\). Drugi to prosta prostopadła do wektora \(\displaystyle{ 0_2}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ 0_2}\). Trzeci zbiór to cała płaszczyzna \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).

[Killaz]

Co wyznaczają, czyli czym one są na płaszczyźnie. Na przykład pierwszy zbiór to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0_2}\) i promieniu \(\displaystyle{ c>0}\). Drugi to prosta prostopadła do wektora \(\displaystyle{ 0_2}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ 0_2}\). Trzeci zbiór to cała płaszczyzna \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).

Jak zauważyłeś, że pierwszy zbiór to okrąg? Gdybyś dokładniej to wytłumaczył pewnie poradziłbym sobie z resztą. Przecież wzór na okrąg w układzie współrzędnych jest zupełnie inny?

[bartek118]

Skoro \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^2}\), to proponuję zapisać \(\displaystyle{ x=(x_1, x_2)}\) i wtedy odczytasz czym są dane zbiory.

[Killaz]

No dobrze, ale co się dzieje z transponowanym \(\displaystyle{ x}\)? Jak potem dochodzisz do tego, że jest to okrąg?

[bartek118]

Jeżeli \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)}\), to ile wynosi \(\displaystyle{ x^Tx}\)?

[Killaz]

Zabij mnie jeśli się mylę, ale wyszedł mi z tego kwadrat sumy, tj. wzór skróconego mnożenia.

[bartek118]

A powinna suma kwadratów.