Podprzetrzenie liniowe R^4

[matemaciej]

Cześć,
Mam wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Wiem, że na pewno będą to \(\displaystyle{ \left\{ 0 \right\}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3}\) i izomorficzne do nich. Czy są jakieś inne możliwości? Jeśli nie to z czego wynika jedyność tych podprzestrzeni (w sensie że więcej nie ma)?

[yorgin]

Każda podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^4}\) jest izomorficzna z wyżej wymienionymi. Wynika to z faktu, iż bazy takich przestrzeni mogą mieć zero, jeden, dwa, trzy (i cztery) wektory bazowe, rozpinające odpowiednio przestrzenie \(\displaystyle{ \{0\}}\), izomorficzną z \(\displaystyle{ \RR}\), izomorficzną z \(\displaystyle{ \RR^2}\), izomorficzną z \(\displaystyle{ \RR^3}\) (i izomorficzną z \(\displaystyle{ \RR^4}\)).

[matemaciej]

Dzięki za odpowiedź.
Czyli nie ma jakiejś innej możliwości podprzestrzeni dajmy na to 3 wymiarowej, bo każda inna będzie izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)? Dlaczego?

[yorgin]

Odwzorowanie liniowe jest w pełni zdefiniowane, gdy zdefiniujemy go na elementach bazowych.

Niech bazą \(\displaystyle{ \RR^3}\) będzie baza kanoniczna \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3)}\), a bazą 3-wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) wektory \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3)}\).

Można określić odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f}\) takie, że

\(\displaystyle{ f(e_i)=v_i,\quad i=1, 2, 3.}\)

Mamy zatem różnowartościowe przekształcenie bazy na bazę, a zatem \(\displaystyle{ f}\) jest izomorfizmem dwóch przestrzeni.

Można też z "grubej rury" - każde dwie skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe nad ustalonym ciałem są izomorficzne.

[matemaciej]

Hmmm... a da się to wyjaśnić bez odwzorowań liniowych? Nie miałem tego jeszcze na wykładzie.
(Miałem pojęcie przestrzeni, podprzestrzeni, bazy, wymiaru, izomorfizmu, kombinacji liniowych, zbioru zależnego i niezależnego).

[AiDi]

Jak mogłeś mieć izomorfizmy przestrzeni wektorowych bez wprowadzania odwzorowań liniowych?

[matemaciej]

Miałem powiedziane, że \(\displaystyle{ V, W}\) są izomorficzne, jesli istnieje pewna bijekcja \(\displaystyle{ f : V \rightarrow W}\), taka że :

\(\displaystyle{ \forall u,v \in V f(u+v) = f(u) + f(v)}\)
\(\displaystyle{ \forall u,v \in V \forall \lambda \in K f(\lambda v) = \lambda f(v)}\)

Chyba że to jest def odwzorowania liniowego ale o tym mi nie powiedziano.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \forall u,v \in V f(u+v) = f(u) + f(v)}\)
\(\displaystyle{ \forall u,v \in V \forall \lambda \in K f(\lambda v) = \lambda f(v)}\)
Chyba że to jest def odwzorowania liniowego

Jest.

Odwzorowania liniowe to bodaj najważniejszy typ odwzorowań w całej matematyce. Ta definicja musiała albo będzie wyodrębniona gdzieś, kiedyś.

[matemaciej]

Yorgin, to dopiero mój drugi wykład z algebry liniowej był, więc pewnie się jeszcze sporo na ten temat dowiem. Wystarczy tylko jak będę korzystał z definicji podanej przez wykładowcę by zrozumieć wszystko z twojego dowodu czy dzieje się tam jeszcze jakaś magia jeśli chodzi o te odwzorowania?

[yorgin]

Hmm definicje swoją drogą. Potrzeba też wiedzieć, że można zdefiniować odwzorowanie liniowe między bazami tak, jak ja to zrobiłem. Oraz wiedzieć, że izomorfizm jest w całości wyznaczony na wektorach bazowych obu przestrzeni.

Można również wypisać gotowy wzór na izomorfizm, gdzie \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) - baza trójwymiarowej podprzestrzeni \(\displaystyle{ V\subset \RR^3}\):

\(\displaystyle{ V\ni av_1+bv_2+cv_3 \mapsto (a,b,c)\in \RR^3}\).

To chyba najprostrze rozwiązanie, bo nie korzysta z niczego poza definicją.

[matemaciej]

Dzięki wielkie. Bardzo mi to pomogło
Pozdrawiam,
MateMaciej