struktura zespolona

[Yelon]

Pokazać, że każda parzystowymiarowa przestrzeń nad \(\displaystyle{ \matbb{R}}\) posiada jakąś strukturę zespoloną.

Wiem, że strukturą zespoloną nad przestrzenią skończenie wymiarową \(\displaystyle{ V}\) jest operator liniowy \(\displaystyle{ J : V \rightarrow V: J ^{2}= -id}\), ale nie za bardzo wiem co z tym dalej zrobić

[szw1710]

Musisz wykazać istnienie takiego operatora. Wystarczy Ci przyjąć \(\displaystyle{ V=\RR^{2n}}\), gdyż każda \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowa rzeczywista przestrzeń liniowa jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \RR^k}\) (nad \(\displaystyle{ \RR}\)). Zacznij od płaszczyzny. To bardzo proste: \(\displaystyle{ J\bigl((a,b),(c,d)\bigr)=(ac-bd,ad+bc)}\). Sprawdź, że spełnione są żądane warunki, czyli \(\displaystyle{ J\circ J=-\text{id}}\). To nic innego jak definicja liczb zespolonych w postaci par liczb rzeczywistych. Więc z rękawa tego nie wytrzasnąłem.

A teraz przejdź do wyższych wymiarów \(\displaystyle{ 2n}\). Posłuż się jakąś analogią z płaszczyzną.

[Yelon]

Nie potrafię złożyć tej funkcji
\(\displaystyle{ J(J((a,b),(c,d)))= J(ac-bd,ad+bc)=...}\)?

Z uogólnieniem też mam problem, następny wymiar będzie czwarty i nie wiem jak to sobie wyobrazić/

[Qń]

Jeśli bazą przestrzeni o wymiarze \(\displaystyle{ 2n}\) jest \(\displaystyle{ (a_1,a_2,\ldots , a_n, b_1,b_2, \ldots b_n)}\), to wystarczy \(\displaystyle{ V}\) określić na wektorach bazowych następująco:
\(\displaystyle{ \begin{cases}V(a_i)= b_i \\V(b_i)=-a_i\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots , n}\)

Q.

[szw1710]

Zdefiniowałem mnożenie liczb zespolonych. Przez pomyłkę wyszło mi działanie \(\displaystyle{ \RR^2\times\RR^2\to\RR}\). Inaczej to trzeba zrobić. Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \RR^2\to\RR^2}\) ma swoją macierz. Pomnóż ją przez siebie i masz w wyniku otrzymać \(\displaystyle{ -I}\) (macierz przeciwną do macierzy jednostkowej). To będzie struktura zespolona. Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

Czemu akurat wybrałem mnożenie? Pewnie dlatego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\). Ale tu bardziej chodzi o odwzorowanie liniowe - taki odpowiednik \(\displaystyle{ i}\) w składaniu.