Dowód twierdzenia o niezależności wektorów w R2

[ms7]

Witam!
Potrzebuję Waszej niezastąpionej pomocy.

Temat porusza dowód twierdzenia o którym pisałem też tutaj( 371671.htm ), okazał się on jak najbardziej prawidłowy.
Mimo tego dziś na zajęciach wykładowca pokazał nam inny dowód który nie do końca rozumiem.

Należy wykazać że jeśli \(\displaystyle{ w_1}\), \(\displaystyle{ w_2}\) należące do \(\displaystyle{ R^2}\) są liniowo niezależne, to każdy wektor w \(\displaystyle{ R^2}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1}\), \(\displaystyle{ w_2}\).

Wyszliśmy od tego że \(\displaystyle{ w_1=[\alpha_1,\alpha_2]}\) i \(\displaystyle{ w_2=[\beta_1,\beta_2]}\) są liniowo niezależne, następnie wykazaliśmy że wynika z tego iż każdy z wektorów \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ [1,0]}\) jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_2}\).

Następnie zapisaliśmy, że jeśli weźmiemy dowolny wektor \(\displaystyle{ V=[v_1,v_2]}\) to:
\(\displaystyle{ V=v_1[1,0]+v_2[0,1]=[v_1,v_2]}\).

Wnioskiem natomiast było: nie istnieją 3 liniowo niezależne wektory w \(\displaystyle{ R^2}\).

Nie rozumiem wniosku z tego dowodu. W jaki sposób z tego: \(\displaystyle{ V=v_1[1,0]+v_2[0,1]=[v_1,v_2]}\) wynika że każdy wektor w \(\displaystyle{ R^2}\) jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_1}\)?

[szw1710]

Weź dowolne trzy wektory. Powiedzmy, że dwa z nich są liniowo niezależne. Więc trzeci jest ich kombinacją. Oznacza to, że dowolny układ trzech wektorów jest już liniowo zależny (oczywiście jeśli żadne dwa nie są liniowo niezależne, to od razu układ trzech wektorów jest liniowo zależny).

[ms7]

Jasne, geometrycznie jest to zupełnie oczywiste. Natomiast nadal nie rozumiem jak na podstawie tego dowodu, a konkretniej, dlaczego to że mogę w taki sposób zapisać dowolny wektor V: \(\displaystyle{ V=v_1[1,0]+v_2[0,1]=[v_1,v_2]}\), oznacza że jest on kombinacją liniową \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\)?

[szw1710]

To prosty rachunek. Spróbuj się dokładnie wczytać w tekst. Do przedstawienie \(\displaystyle{ v}\) jako kombinacji wektorów \(\displaystyle{ [1,0],[0,1]}\) wstaw te wektory jako kombinacje wektorów \(\displaystyle{ w_1,w_2}\).

Dobrej nocy życzę.

[ms7]

Okej, ale czy z tego że dowolny wektor, w tym przypadku \(\displaystyle{ V}\), można przedstawić jako kombinację liniową, wektorów \(\displaystyle{ [1,0]}\) oraz \(\displaystyle{ [0,1]}\) będących kombinacjami \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_2}\) wynika że V jest kombinacją \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_2}\)?

Czyli generalnie jeśli wezmę dwa wektory liniowo niezależne(oznaczmy jako \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)) i stworzę z nich dwa nowe(\(\displaystyle{ c}\), \(\displaystyle{ d}\)) a za pomocą tych nowych jakiś dowolny trzeci(\(\displaystyle{ e}\)), to \(\displaystyle{ e}\) będzie kombinacją liniową \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)?
Taki jest sens tego dowodu? Bo trochę się już pogubiłem.

[szw1710]

Bo i ten proponowany dowód jest jakiś dziwny i sprzyja pogubieniu się. Zrobiłbym to bardziej bezpośrednio. Spróbuj. Wystarczy rozwiązać pewien układ równań.

[ms7]

Jasne, właśnie na zajęciach przedstawiłem dowód z układem równań(wystarczy pokazać że układ równań nie ma rozwiązań tylko gdy wektory są liniowo zależne) i dowód był przyjęty bez zastrzeżeń. Nie mniej jednak wykładowca przedstawił nam też dowód o którym jest mowa w tym temacie a ja chciałbym go także zrozumieć.

Czyli generalnie jeśli wezmę dwa wektory liniowo niezależne(oznaczmy jako \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)) i stworzę z nich dwa nowe(\(\displaystyle{ c}\), \(\displaystyle{ d}\)) a za pomocą tych nowych jakiś dowolny trzeci(\(\displaystyle{ e}\)), to \(\displaystyle{ e}\) będzie kombinacją liniową \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)?
Taki jest sens tego dowodu?

Rozumiem że w tym 'zamotanym' dowodzie chodzi o te zależności?

[szw1710]

Ja też już wątek tracę. Może zapiszę jak trzeba i po sprawie. Niech \(\displaystyle{ e_1=(1,0),\;e_2=(0,1)}\). Niech dalej \(\displaystyle{ w_1,\,w_2}\) będą wektorami liniowo niezależnymi. Przedstawiasz \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) jako ich kombinacje liniowe: \(\displaystyle{ e_1=aw_1+bw_2}\) oraz \(\displaystyle{ e_2=cw_1+dw_2}\). Teraz bierzemy dowolny wektor \(\displaystyle{ v=[\alpha,\beta]=\alpha e_1+\beta e_2}\). Tak więc

\(\displaystyle{ v=\alpha(aw_1+bw_2)+\beta(cw_1+dw_2)=(\alpha a+\beta c)w_1+(\alpha b+\beta d)w_2}\),

więc \(\displaystyle{ v}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1,w_2}\). Tyle było do pokazania.

[ms7]

Dziękuję! Właśnie o to chodziło, teraz wszystko jasne i pokazane krok po kroku.
Jestem bardzo wdzięczny.

[szw1710]

Ale to i tak oszukiwanie ludzi. Bo siła rozumowania tkwi w możliwości przedstawienia \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) jako kombinacji \(\displaystyle{ w_1,w_2}\). A w czym wektory \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) są lepsze od jakichkolwiek innych? O gustach się nie dyskutuje, ale ten dowód w moim guście nie jest.