macierz Jordana

[Yelon]

Podać przykład dwóch macierzy Jordana, \(\displaystyle{ J}\), które mają następującą własnośc: jeżeli są postacią Jordana jakiejkolwiek innej macierzy \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ X=PJP ^{-1}}\), to \(\displaystyle{ X=J}\). Udowodnić, że jedyne te dwie wskazane macierze mają tę własność.

mój strzał to macierz zerowa: \(\displaystyle{ J=0n}\), gdzie \(\displaystyle{ 0n}\)-macierz zerowa \(\displaystyle{ n \times n}\) bo
\(\displaystyle{ X = P \cdot 0n \cdot P ^{-1} = P \cdot 0 = 0 \Rightarrow X=0}\)

oraz: \(\displaystyle{ J= id(n)}\), wtedy \(\displaystyle{ X = P \cdot id(n) \cdot P ^{-1} = P \cdot P ^{-1} = X}\)
tutaj można też wziąć ogólnie grupę macierzy \(\displaystyle{ J = \lambda \cdot id(n)}\)

Nie wiem natomiast jak pokazać, że tylko te dwie macierze to spełniają?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ \lambda_1}\) będzie wartością w lewym, górnym rogu macierzy \(\displaystyle{ J}\), czyli \(\displaystyle{ Je_1=\lambda_1e_1}\). Pokażemy, że dla każdego wektora \(\displaystyle{ v}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ Jv=\lambda_1v}\), czyli \(\displaystyle{ J=\lambda_1\cdot id}\). Weźmy niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie taką macierzą nieosobliwą, że \(\displaystyle{ Pe_1=v}\). Z równości \(\displaystyle{ J=PJP^{-1}}\) mamy:

\(\displaystyle{ Jv = PJP^{-1}v = PJe_1=P(\lambda_1e_1)=\lambda_1v.}\)