Jak wykazać wymierność takiego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}}\)
?
Próbowałem założyć że \(\displaystyle{ w=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}}\)
i podnosić stronami do szescianu itp., ale nic ciekawego z tego nie wynikło.
Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia
Po podniesieniu do sześcianiu otrzymamy zależność
\(\displaystyle{ w^3=14-3w}\).
Równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste \(\displaystyle{ w=2}\). Łatwo jest sprawdzić, iż istotnie nie ma innych pierwiastków rzeczywistych.- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia
\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{2} \right)^3=1+3 \sqrt{2}+3 \cdot 2+2 \sqrt{2}=7+5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{2} \right)^3=1-3 \sqrt{2}+3 \cdot 2-2 \sqrt{2}=7-5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7+5 \sqrt{2}}+ \sqrt[3]{7-5 \sqrt{2}} =\sqrt[3]{\left( 1+ \sqrt{2} \right)^3} }+ \sqrt[3]{\left( 1- \sqrt{2} \right)^3 } =1+ \sqrt{2}+1- \sqrt{2}=2}\)
\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{2} \right)^3=1-3 \sqrt{2}+3 \cdot 2-2 \sqrt{2}=7-5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7+5 \sqrt{2}}+ \sqrt[3]{7-5 \sqrt{2}} =\sqrt[3]{\left( 1+ \sqrt{2} \right)^3} }+ \sqrt[3]{\left( 1- \sqrt{2} \right)^3 } =1+ \sqrt{2}+1- \sqrt{2}=2}\)