Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ms7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 290
Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 179 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia

Post autor: ms7 »

Jak wykazać wymierność takiego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}}\)
?

Próbowałem założyć że \(\displaystyle{ w=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}}\)
i podnosić stronami do szescianu itp., ale nic ciekawego z tego nie wynikło.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia

Post autor: yorgin »

Po podniesieniu do sześcianiu otrzymamy zależność
\(\displaystyle{ w^3=14-3w}\).
Równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste \(\displaystyle{ w=2}\). Łatwo jest sprawdzić, iż istotnie nie ma innych pierwiastków rzeczywistych.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wykazać wymierność sumy pierwiastków 3 stopnia

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \left( 1+ \sqrt{2} \right)^3=1+3 \sqrt{2}+3 \cdot 2+2 \sqrt{2}=7+5 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{2} \right)^3=1-3 \sqrt{2}+3 \cdot 2-2 \sqrt{2}=7-5 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{7+5 \sqrt{2}}+ \sqrt[3]{7-5 \sqrt{2}} =\sqrt[3]{\left( 1+ \sqrt{2} \right)^3} }+ \sqrt[3]{\left( 1- \sqrt{2} \right)^3 } =1+ \sqrt{2}+1- \sqrt{2}=2}\)
ODPOWIEDZ