Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: VillagerMTV »

Witam! Mam takie zadanie: Udowodnij, że dla dowolnego odwzorowania liniowego zbiór \(\displaystyle{ k}\) wektorów własnych do \(\displaystyle{ k}\) różnych wartości własnych jest liniowo niezależny.

Nie bardzo rozumiem co mam właściwie udowodnić.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: yorgin »

Masz pokazać, że wektory własne odpowiadające dwóm różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.

Zauważ, że wystarczy twierdzenie udowodnić w przypadku \(\displaystyle{ k=2}\).
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: VillagerMTV »

Wiem jak się wyznacza wartości i wektory własne jeśli mam macierz odwzorowania liniowego, ale tutaj w ogóle nie wiem jak to ruszyć
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: yorgin »

1. Weź dwa wektory własne odpowiadające dwóm różnym wartościom własnym.

2. Zapisz ich kombinację liniową.

3. Pokaż, że współczynniki kombinacji liniowej się zerują, gdy kombinacja jest zerowa.
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: VillagerMTV »

A jak zapisać wektory własne tak, żeby było wiadomo? Bo znam taki algorytmiczny sposób wyznaczania tych wektorów i wartości, ale za bardzo nie rozumiem czym te wektory są
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: yorgin »

VillagerMTV pisze:A jak zapisać wektory własne tak, żeby było wiadomo?
Co było wiadomo?
VillagerMTV pisze: Bo znam taki algorytmiczny sposób wyznaczania tych wektorów i wartości, ale za bardzo nie rozumiem czym te wektory są
Wektory własne rozpinają niezmiennicze podprzestrzenie.
Wyznaczają macierz zmiany bazy w przekształceniach do postaci diagonalnej.
Itp.
Awatar użytkownika
VillagerMTV
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 898
Rejestracja: 18 cze 2013, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 40 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: VillagerMTV »

yorgin pisze:VillagerMTV napisał(a):
A jak zapisać wektory własne tak, żeby było wiadomo?

Co było wiadomo?
Że to wektor własny, a nie jakiś taki zwykły.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Odwzorowanie liniowe i wektory\wartości własne

Post autor: yorgin »

Jak napiszesz kombinację liniową, to póki co nic nie jest Ci potrzebne z własności wartości i wektorów własnych.

Natomiast jak tę kombinację przekształcisz przez macierz odwzorowania liniowego, to wtedy pojawi się istotnie wykorzystanie tego, że coś jest wartością/wektorem własnym. Bez odwzorowania nie wyciągnie się niczego, co "widać".
ODPOWIEDZ