równoległobok rozpięty na wektorach

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

równoległobok rozpięty na wektorach

Post autor: Yelon »

Niech \(\displaystyle{ e _{i}}\) rozumiemy \(\displaystyle{ i}\)-ty wektor bazy kanonicznej w odpowiedniej przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\). Udowodnić, że wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A \in M(2 \times 2, \mathbb{R})}\) to pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ Ae _{1}}\) i \(\displaystyle{ Ae _{2}}\).
szw1710

równoległobok rozpięty na wektorach

Post autor: szw1710 »

Twoje przedstawienie dzieje się na płaszczyźnie, co widać z założeń. Wiemy, że wyznacznik pary wektorów jest co do modułu takim polem. Z drugiej strony iloczyn długości wektorów przez sinus kąta między nimi też jest tym polem. Skojarz te fakty.

W \(\displaystyle{ \RR^3}\) można od razu wyjść od iloczynu wektorowego i sposobu jego wyliczania.
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

równoległobok rozpięty na wektorach

Post autor: Yelon »

mam \(\displaystyle{ \vec{a} = x _{1} +y _{1}}\), \(\displaystyle{ \vec{b} = x _{2} +y _{2}}\), macierz \(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{cc}x _{1}&y _{1}\\x _{2}& y _{2}\end{array}\right]}\).

\(\displaystyle{ detA= x _{1}y _{2} - y _{1}x _{2}}\). jak ma się to do tego pola na równoległobok z sinusem, jeśli nie mam ustalonego kąta?

-- 15 paź 2014, o 19:53 --

Wiem, że post pod postem, ale nie mogę edytować :(

W dwóch wymiarach ogarnąłem to w ten sposób:

Mam dwa wektory: \(\displaystyle{ x = a + b}\), \(\displaystyle{ y = c + d}\). Wtedy \(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\). \(\displaystyle{ detA = ad - bc}\)

Natomiast pole równoległoboku, rozpiętego na tych wektorach to inaczej pole prostokąta o wymiarach \(\displaystyle{ (a+c) \times (b+d)}\) odjąć pola figur (cztery trójkąty oraz dwa prostokąty), które są 'dookoła' równoległoboku (wiem, że przydałby się rysunek, ale nie mam go jak zrobić teraz). Rachunkowo wygląda to tak:

\(\displaystyle{ (a+c)(b+d) - 2( \frac{ab}{2}+cb+ \frac{cd}{2})=ad-bc}\), nie wiem natomiast, a raczej nie widzę tego w \(\displaystyle{ R ^{3}}\).
ODPOWIEDZ