Niezależność linowa wektorów

[Lays141]

Witam, chciałbym prosić o wyjaśnienie tytułowego zagadnienia. Mam następujące wektory:
\(\displaystyle{ \left[ 1; 2; -3\right], \left[ 4; -1; 1\right], \left[ 0; 1; 1\right], \left[ 2; 2; 6\right]}\)
i muszę ustalić czy są one liniowo zależne bądź nie. Wiem że mogę utworzyć z nich macierz, policzyć rząd (który w tym wypadku wynosi 3) i jeśli wynosi tyle ile liczba wektorów to są one liniowo niezależne. Lecz nie miałem jeszcze macierzy (dopiero jeden wykład wstępny do macierzy), a na ćwiczeniach będziemy badać tę zależność z definicji. Z tej, wychodzi układ równań, z którym mam właśnie problem.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a + 4b +2d = 0\\
2a - b +c + 2d = 0\\
-3a + b +c +6 d = 0 \end{cases}}\)
oczywiście jest zależny wtedy i tylko wtedy gdy któraś z tych liczb: a, b, c, d jest różna od 0.
Byłbym wdzięczny gdyby ktoś zrobił i wytłumaczył co i jak

[miodzio1988]

A w jakiej przestrzeni? Bo odpowiedź może się różnic np w \(\displaystyle{ R ^{3}}\) albo \(\displaystyle{ R ^{4}}\)

[Lays141]

Niestety w zestawie nie ma wzmianki o tym w jakiej przestrzeni. "Sprawdz, czy układ wektorów jest liniowo niezalezny" i mam wymienione kilka układów, ten jest jednym z nich.

[miodzio1988]

Dobra, bez znaczenia, ja bzdurę napisałem ( \(\displaystyle{ R ^{4}}\) no Miodek jest rzeczywiście mądry...)
Wyznacz sobie z pierwszego \(\displaystyle{ a}\) i wstaw do pozostałych

[ms7]

Masz 4 zmienne i 3 równania, więc rozwiązanie będzie mniej więcej takie że jedna ze zmiennych może być dowolną liczbą a pozostałe są od niej zależne.

Czyli wyznacz po prostu \(\displaystyle{ a,b,c}\) w zaleznosci od \(\displaystyle{ d}\). Wtedy ładnie widać że jest nieskończenie wiele rozwiązań (co nie podstawisz za \(\displaystyle{ d}\), to dostaniesz jakies \(\displaystyle{ a,b,c}\))

[Lays141]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+4b+2d=0 \Rightarrow a=-4b-2d\\
2a-b+c+2d=0 \Rightarrow c=-2a+b-2d=-2(-4b-2d)+b-2d=9b-2d\\
-3a+b+c+6d=0 \end{cases}}\)
problem w tym że nie wyznacze np. \(\displaystyle{ b}\) bo \(\displaystyle{ b=3a-c-6d}\)
jak podstawie pod \(\displaystyle{ a}\) to co wyznaczyłem w pierwszym równaniu to i tak będę krążył wokół tych samych liczb (literek).
Mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ 2(-4b-2d)-b+c+2d=-8b-4d-b+c+2d=-9b-2d+c=-9b-2d+9b-2d=-4d=0}\)
ale z tego by wynikało, że układ jest niezależny, a to nieprawda. Wybaczcie, że tak topornie.

[ms7]

Wyznaczyłeś z pierwszego zmienną 'a' więc wstaw ją do dwóch pozostałych równań.
Generalnie postępuj tak jak w standardowym rozwiązywaniu układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-4b-2d \\ -8b-4d-b+c+2d=0 \Rightarrow c=9b+2d \\ 12b+6d+b+c+6d=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-4b-2d \\ c=9b+2d \\ 12b+6d+b+ 9b+2d+6d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-4b-2d \\ c=9b+2d \\ 22b=-14d \Rightarrow b= \frac{-7}{11}d \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a= \frac{28}{11}d-2d \\ c= \frac{-63}{11}d+2d \\ b=\frac{-7}{11}d \end{cases}}\)

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań(dla każdego \(\displaystyle{ d}\), znajdzie się \(\displaystyle{ a,b,c}\))

PS. sorki za ewentualne błędy rachunkowe(pisałem na telefonie), w każdym razie taka jest idea rozwiązywania układów równań gdzie jest więcej niewiadomych niż równań.