Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: MisterWolf »

Chcę wykazać, że przestrzenie \(\displaystyle{ (A+B)/B}\) i \(\displaystyle{ A/(A \cap B)}\) są izomorficzne,
gdzie \(\displaystyle{ A, B}\) są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej.

Wiem czym jest izomorfizm i gdybym miał funkcję to pewnie umiałbym wykazać, że jest izomorfizmem.
Kłopot w tym, że nie umiem jej zbudować. Jak się zabrać do takiego zadania?
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: sebnorth »

\(\displaystyle{ \phi : A \rightarrow (A+B)/B}\) określone wzorem \(\displaystyle{ \phi(a) = [a + 0]}\) jest homomorfizmem

oblicz \(\displaystyle{ \ker \phi}\) i skorzystaj z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: MisterWolf »

Nie rozumiem zapisu \(\displaystyle{ \phi(a) = [a + 0]}\). Co robią tutaj te nawiasy \(\displaystyle{ [\ ]}\)?
Jeżeli pierwsze twierdzenie o izomorfizmie miałoby załatwić sprawę, to pewnie musi być:
\(\displaystyle{ Ker\phi = A \cap B}\) oraz \(\displaystyle{ \phi(A) = (A+B)/B}\). Niestety, nie widzę tego, co pewnie wynika z tego, że nie rozumiem co robi \(\displaystyle{ \phi}\).
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: sebnorth »

\(\displaystyle{ [a+0]}\) to jest wartstwa elementu \(\displaystyle{ a+0}\),

jeśli \(\displaystyle{ a \in A}\) to \(\displaystyle{ a + 0 \in A + B}\)
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: MisterWolf »

Dziękuję za cierpliwość.

Zastanawiam się dlaczego \(\displaystyle{ Ker\phi = A \cap B}\), tzn. co jest elementem neutralnym i dlaczego
jest on osiągany dla elementów z \(\displaystyle{ A \cap B}\)?

Poza tym, obraz \(\displaystyle{ \phi(A)}\) to wszystkie warstwy postaci \(\displaystyle{ [a+0]}\), ale czemu to jest pełne \(\displaystyle{ (A+B)/B}\), skoro \(\displaystyle{ B}\) z sumy \(\displaystyle{ A+B}\) reprezentuje tylko \(\displaystyle{ 0}\)?
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: sebnorth »

nie jestem niecierpliwy

elementem neutralnym w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest \(\displaystyle{ 0}\),

no właśnie dlaczego \(\displaystyle{ [a+0] = [a+b]}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ b \in B}\)? to zaś oznacza równość zbiorów:

\(\displaystyle{ \{ [a+0] : a \in A\} = \{ [a+b]: a \in A, b \in B\}}\)

niech \(\displaystyle{ x \in [a+b] \in (A+B)/B}\)

\(\displaystyle{ x = a + b + b'}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b' \in B}\)

\(\displaystyle{ x = a + b''}\) gdzie \(\displaystyle{ b'' = b + b'}\)

\(\displaystyle{ x = a + 0 + b'' \in [a+0]}\)
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: MisterWolf »

OK, widzę już czemu obraz jest tym czym powinien. Dzięki.
Ciągle jednak mam kłopot z jądrem przekształcenia. Chodziło mi o element neutralny na poziomie warstw.
Czy \(\displaystyle{ Ker\phi = \{x \in A : \phi(x) = [0+0] \}}\)? Jeżeli tak, to trzeba pokazać równość:
\(\displaystyle{ [x+0]=[0+0] \quad (x \in A \cap B).}\)
Zawieranie \(\displaystyle{ \subseteq}\) umiem pokazać, gorzej z zawieraniem w drugą stronę.
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: sebnorth »

\(\displaystyle{ \ker\phi = \{x \in A : \phi(x) = B \}, B}\) jest warstwą zerową

\(\displaystyle{ x \in \ker\phi \Leftrightarrow x \in \{x \in A : \phi(x) = B \} \Leftrightarrow x \in A \land \phi(x) = B \Leftrightarrow x \in A \land [x+0] = B \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \Leftrightarrow x \in A \cap B}\)
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: MisterWolf »

Dzięki. Wyjaśnia się. Pozostaje wykazać, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest homomorfizmem.
\(\displaystyle{ \phi(a_1 + a_2) = \phi(a_1) \cup \phi(a_2) \quad (a_1, a_2 \in A)}\), co się sprowadza do równości zbiorów:
\(\displaystyle{ \left\{z = a_1 + a_2 + 0 + b : b \in B\right\} = \left\{z = a + 0 + b : b \in B, a \in \left\{a_1, a_2\right\}\right\}}\)
i niestety tego nie widzę.
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: sebnorth »

\(\displaystyle{ \phi(x+y) = [x+y + 0] = [x+ 0 + y + 0] = [x+ 0] + [y + 0] = \phi(x) + \phi(y)}\)
MisterWolf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 1 raz

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: MisterWolf »

Dodawanie na poziomie warstw? A nie suma zbiorów?
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Izomorfizm pewnych podprzestrzeni

Post autor: sebnorth »

warstwy to zbiory ale w przestrzeni ilorazowej \(\displaystyle{ (A+B)/B}\) dodawanie definiujemy:

\(\displaystyle{ [x] + [y] = [x+y]}\)
ODPOWIEDZ