Wykazać niezależność liniową liczb nad Q

[ms7]

Mam do wykazania liniową niezależność nad Q, podanych liczb:
\(\displaystyle{ 1, \sqrt{2} , \sqrt{3}}\)

Musze więc pokazać, że jedynym rozwiązaniem
\(\displaystyle{ 1a + \sqrt{2}b + \sqrt{3}c=0}\)

jest \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

Jest to oczywiste, no ale żeby był dowód to trzeba to jakoś poprzekształcać, więc czy wystarczy pokazać to w takiej formie:
\(\displaystyle{ a=-\sqrt{2}(b+0.5c\sqrt{6})}\)
Lewa zawsze wymierna, prawa nigdy.

czy stąd już jasno wynika że jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)

[szw1710]

To jeszcze sprawdź niewymierność prawej strony. Dobry trop.

[ms7]

no właśnie, tylko jak matematycznie dowieść że prawa jest zawsze niewymierna?
Mogę prosić o jakąś podpowiedź?

[szw1710]

Spróbuj przez doprowadzenie do niedorzeczności. Tak podobnie ideowo jak w dowodzie, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}\not\in\QQ}\).

Życz mi miłego roweru.

[Zordon]

\(\displaystyle{ \sqrt{2}b =-a-\sqrt{3}c}\)
Podnieś stronami do kwadratu i skorzystaj z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

[ms7]

Dzięki za pomoc Panowie
Jeśli możecie, to rzućcie okiem na moje poniższe rozwiązania.

Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}b =-a-\sqrt{3}c}\)

\(\displaystyle{ 2b^2=a^2+2c\sqrt{3}+3c^2}\) / \(\displaystyle{ : c}\), zał. \(\displaystyle{ c \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2b^2-a^2-3c^2}{2c}=\sqrt{3}}\)

oznaczmy licznik ułamka jako \(\displaystyle{ l}\) a mianownik jako \(\displaystyle{ m}\)(tu chyba już jasne że zarówno licznik jak i mianownik są liczbami wymiernymi?),
czyli mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{l}{m}}\)
i dalej już zwykły dowód na niewymierność pierwiastka z trzech, z czego wyniknie że \(\displaystyle{ \frac{2b^2-a^2-3c^2}{2c}=\sqrt{3}}\) nie ma rozwiązania.

Trzeba jeszcze rozpatrzyć przypadek gdzie \(\displaystyle{ c=0}\) i od razu podstawie to do równania wyjściowego aby uniknąć komplikacji związanych z tym iż kolejne kroki rozwiązywania równania były implikacją a nie równoważnością. Czyli mam: \(\displaystyle{ \sqrt{2}b=-a}\) i teraz znowu założenie że \(\displaystyle{ b}\) różne od zera i dziele stronami, następnie robię dowód na niewymierność pierwiastka z dwóch, po czym rozpatruję przypadek gdy \(\displaystyle{ b=0}\)(czyli tak na prawdę mam już \(\displaystyle{ b=c=0}\)) i znowu podstawiam do pierwszego równania i wtedy już jasno widać że jedyna opcja to \(\displaystyle{ a=0}\).

To chyba kompletny dowód?

[Zordon]

Tak, kompletny.

[ms7]

Jeśli mogę, to chciałbym jeszcze poprosić o wskazówkę jak zacząć takie wykazywanie gdybym miał pokazać że liczby \(\displaystyle{ 1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}}\) są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ Q}\)?
Próbowałem na różne sposoby, podnosić stronami do sześcianu itp., ale nic konkretnego nie uzyskałem..
Macie jakieś ułatwiające ten dowód spostrzeżenia?

[miodzio1988]

Jeśli mogę, to chciałbym jeszcze poprosić o wskazówkę jak zacząć takie wykazywanie gdybym miał pokazać że liczby \(\displaystyle{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}}\) są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ Q}\)?

To są przecież te same liczby co poprzednio

[ms7]

Poprawiłem post.

[Zordon]

Bierzemy równość \(\displaystyle{ a+b\sqrt[3]{2}=-c\sqrt[3]{4}}\) i podnosimy do trzeciej potęgi stronami.
Wydaje się, że niewiele to pomoże, ale jednak pomoże. Mianowicie, z tego co wyjdzie wyznaczamy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) i wstawiamy do \(\displaystyle{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0}\).

[ms7]

Sorry za odkop ale odpuściłem wtedy to zadanko, a teraz uczę się do kolokwium i chcę wszystko kompletnie umieć i właśnie został mi ten przykład.

Korzystając z rady Zordona, dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ a^3+2b^2-6abc=-4c^3}\)
i nie wiem jak stąd wywnioskować że jedyne rozwiązanie wymierne to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

W notatkach z ćwiczeń mam podpowiedź że można założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c\in Z}\) oraz że \(\displaystyle{ NWD(a,b,c)=1}\), lecz kompletnie nie widzę dlaczego można to założyć i co to ma nam dać.

Będę wdzięczny za wskazówki.

[Zordon]

Można tak założyć. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\), wymnażamy równość przez NWW ich mianowników, teraz mamy \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ}\). Teraz jeszcze dzielimy przez \(\displaystyle{ NWD(a,b,c)}\) i mamy to co mówi wskazówka.
Teraz trzeba się pobawić tą równością, którą otrzymałeś. Wydaje mi się, że trzeba rozważać podzielność przez \(\displaystyle{ 2}\), np. możesz od razu wywnioskować, że \(\displaystyle{ 2|a}\).