Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Mam do wykazania liniową niezależność nad Q, podanych liczb:
\(\displaystyle{ 1, \sqrt{2} , \sqrt{3}}\)
Musze więc pokazać, że jedynym rozwiązaniem
\(\displaystyle{ 1a + \sqrt{2}b + \sqrt{3}c=0}\)
jest \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).
Jest to oczywiste, no ale żeby był dowód to trzeba to jakoś poprzekształcać, więc czy wystarczy pokazać to w takiej formie:
\(\displaystyle{ a=-\sqrt{2}(b+0.5c\sqrt{6})}\)
Lewa zawsze wymierna, prawa nigdy.
czy stąd już jasno wynika że jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)
\(\displaystyle{ 1, \sqrt{2} , \sqrt{3}}\)
Musze więc pokazać, że jedynym rozwiązaniem
\(\displaystyle{ 1a + \sqrt{2}b + \sqrt{3}c=0}\)
jest \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).
Jest to oczywiste, no ale żeby był dowód to trzeba to jakoś poprzekształcać, więc czy wystarczy pokazać to w takiej formie:
\(\displaystyle{ a=-\sqrt{2}(b+0.5c\sqrt{6})}\)
Lewa zawsze wymierna, prawa nigdy.
czy stąd już jasno wynika że jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
To jeszcze sprawdź niewymierność prawej strony. Dobry trop.
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Spróbuj przez doprowadzenie do niedorzeczności. Tak podobnie ideowo jak w dowodzie, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}\not\in\QQ}\).
Życz mi miłego roweru.
Życz mi miłego roweru.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
\(\displaystyle{ \sqrt{2}b =-a-\sqrt{3}c}\)
Podnieś stronami do kwadratu i skorzystaj z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
Podnieś stronami do kwadratu i skorzystaj z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Dzięki za pomoc Panowie
Jeśli możecie, to rzućcie okiem na moje poniższe rozwiązania.
Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}b =-a-\sqrt{3}c}\)
\(\displaystyle{ 2b^2=a^2+2c\sqrt{3}+3c^2}\) / \(\displaystyle{ : c}\), zał. \(\displaystyle{ c \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2b^2-a^2-3c^2}{2c}=\sqrt{3}}\)
oznaczmy licznik ułamka jako \(\displaystyle{ l}\) a mianownik jako \(\displaystyle{ m}\)(tu chyba już jasne że zarówno licznik jak i mianownik są liczbami wymiernymi?),
czyli mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{l}{m}}\)
i dalej już zwykły dowód na niewymierność pierwiastka z trzech, z czego wyniknie że \(\displaystyle{ \frac{2b^2-a^2-3c^2}{2c}=\sqrt{3}}\) nie ma rozwiązania.
Trzeba jeszcze rozpatrzyć przypadek gdzie \(\displaystyle{ c=0}\) i od razu podstawie to do równania wyjściowego aby uniknąć komplikacji związanych z tym iż kolejne kroki rozwiązywania równania były implikacją a nie równoważnością. Czyli mam: \(\displaystyle{ \sqrt{2}b=-a}\) i teraz znowu założenie że \(\displaystyle{ b}\) różne od zera i dziele stronami, następnie robię dowód na niewymierność pierwiastka z dwóch, po czym rozpatruję przypadek gdy \(\displaystyle{ b=0}\)(czyli tak na prawdę mam już \(\displaystyle{ b=c=0}\)) i znowu podstawiam do pierwszego równania i wtedy już jasno widać że jedyna opcja to \(\displaystyle{ a=0}\).
To chyba kompletny dowód?
Jeśli możecie, to rzućcie okiem na moje poniższe rozwiązania.
Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}b =-a-\sqrt{3}c}\)
\(\displaystyle{ 2b^2=a^2+2c\sqrt{3}+3c^2}\) / \(\displaystyle{ : c}\), zał. \(\displaystyle{ c \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2b^2-a^2-3c^2}{2c}=\sqrt{3}}\)
oznaczmy licznik ułamka jako \(\displaystyle{ l}\) a mianownik jako \(\displaystyle{ m}\)(tu chyba już jasne że zarówno licznik jak i mianownik są liczbami wymiernymi?),
czyli mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{l}{m}}\)
i dalej już zwykły dowód na niewymierność pierwiastka z trzech, z czego wyniknie że \(\displaystyle{ \frac{2b^2-a^2-3c^2}{2c}=\sqrt{3}}\) nie ma rozwiązania.
Trzeba jeszcze rozpatrzyć przypadek gdzie \(\displaystyle{ c=0}\) i od razu podstawie to do równania wyjściowego aby uniknąć komplikacji związanych z tym iż kolejne kroki rozwiązywania równania były implikacją a nie równoważnością. Czyli mam: \(\displaystyle{ \sqrt{2}b=-a}\) i teraz znowu założenie że \(\displaystyle{ b}\) różne od zera i dziele stronami, następnie robię dowód na niewymierność pierwiastka z dwóch, po czym rozpatruję przypadek gdy \(\displaystyle{ b=0}\)(czyli tak na prawdę mam już \(\displaystyle{ b=c=0}\)) i znowu podstawiam do pierwszego równania i wtedy już jasno widać że jedyna opcja to \(\displaystyle{ a=0}\).
To chyba kompletny dowód?
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Jeśli mogę, to chciałbym jeszcze poprosić o wskazówkę jak zacząć takie wykazywanie gdybym miał pokazać że liczby \(\displaystyle{ 1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}}\) są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ Q}\)?
Próbowałem na różne sposoby, podnosić stronami do sześcianu itp., ale nic konkretnego nie uzyskałem..
Macie jakieś ułatwiające ten dowód spostrzeżenia?
Próbowałem na różne sposoby, podnosić stronami do sześcianu itp., ale nic konkretnego nie uzyskałem..
Macie jakieś ułatwiające ten dowód spostrzeżenia?
Ostatnio zmieniony 12 paź 2014, o 15:45 przez ms7, łącznie zmieniany 1 raz.
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
To są przecież te same liczby co poprzednioms7 pisze:Jeśli mogę, to chciałbym jeszcze poprosić o wskazówkę jak zacząć takie wykazywanie gdybym miał pokazać że liczby \(\displaystyle{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}}\) są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ Q}\)?
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Bierzemy równość \(\displaystyle{ a+b\sqrt[3]{2}=-c\sqrt[3]{4}}\) i podnosimy do trzeciej potęgi stronami.
Wydaje się, że niewiele to pomoże, ale jednak pomoże. Mianowicie, z tego co wyjdzie wyznaczamy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) i wstawiamy do \(\displaystyle{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0}\).
Wydaje się, że niewiele to pomoże, ale jednak pomoże. Mianowicie, z tego co wyjdzie wyznaczamy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) i wstawiamy do \(\displaystyle{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 290
- Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 179 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Sorry za odkop ale odpuściłem wtedy to zadanko, a teraz uczę się do kolokwium i chcę wszystko kompletnie umieć i właśnie został mi ten przykład.
Korzystając z rady Zordona, dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ a^3+2b^2-6abc=-4c^3}\)
i nie wiem jak stąd wywnioskować że jedyne rozwiązanie wymierne to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).
W notatkach z ćwiczeń mam podpowiedź że można założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c\in Z}\) oraz że \(\displaystyle{ NWD(a,b,c)=1}\), lecz kompletnie nie widzę dlaczego można to założyć i co to ma nam dać.
Będę wdzięczny za wskazówki.
Korzystając z rady Zordona, dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ a^3+2b^2-6abc=-4c^3}\)
i nie wiem jak stąd wywnioskować że jedyne rozwiązanie wymierne to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).
W notatkach z ćwiczeń mam podpowiedź że można założyć, że \(\displaystyle{ a,b,c\in Z}\) oraz że \(\displaystyle{ NWD(a,b,c)=1}\), lecz kompletnie nie widzę dlaczego można to założyć i co to ma nam dać.
Będę wdzięczny za wskazówki.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Wykazać niezależność liniową liczb nad Q
Można tak założyć. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a,b,c\in \QQ}\), wymnażamy równość przez NWW ich mianowników, teraz mamy \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ}\). Teraz jeszcze dzielimy przez \(\displaystyle{ NWD(a,b,c)}\) i mamy to co mówi wskazówka.
Teraz trzeba się pobawić tą równością, którą otrzymałeś. Wydaje mi się, że trzeba rozważać podzielność przez \(\displaystyle{ 2}\), np. możesz od razu wywnioskować, że \(\displaystyle{ 2|a}\).
Teraz trzeba się pobawić tą równością, którą otrzymałeś. Wydaje mi się, że trzeba rozważać podzielność przez \(\displaystyle{ 2}\), np. możesz od razu wywnioskować, że \(\displaystyle{ 2|a}\).