Czy każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch wektorów?

[ms7]

Czy prawdą jest, że w \(\displaystyle{ R^2}\) każdy wektor jest kombinacją liniową dwóch dowolnych wektorów, pod warunkiem że są one wektorami niezależnymi?

[Dakurels]

Każdy zbiór liniowo niezależny o mocy będącej mocą bazy jest również bazą - więc tak.

[ms7]

Chciałbym prosić o matematyczny dowód tego twierdzenia, przeprowadzony w jak najprostszy sposób, albo chociaż o jakies wskazówki, gdyż nie wiem jak zapisać dwa wektory w taki sposób aby bylo jasne ze są niezalezne. Gdybym to potrafil dowód byłby o wiele prostszy.
Jak na razie mialem na zajęciach tylko pojecia takie jak niezależność liniowa i kombinacja liniowa.

Proszę o wsparcie.

[miodzio1988]

No to zapisz co masz udowodnić i porównamy sobie współrzędne obu stron

[norwimaj]

Fakt podany przez Dakurelsa jest prawdziwy w przestrzeniach skończenie wymiarowych (skończenie generowanych) i wynika on z dwóch innych faktów:
1. każdy zbiór liniowo niezależny da się uzupełnić do bazy,
2. każde dwie bazy jednej przestrzeni są równoliczne.

[ms7]

Treść polecenia jest dokładnie taka:
Wykazać że jeśli wektory \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) należące do \(\displaystyle{ R^2}\) są liniowo niezależne, to każdy wektor w \(\displaystyle{ R^2}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1}\) , \(\displaystyle{ w_2}\) .

wziąłem \(\displaystyle{ V=[v_1 , v_2]}\), \(\displaystyle{ w_1=[ \alpha _1 , \alpha _2 ]}\) , \(\displaystyle{ w_2=[\beta _1 , \beta _2 ]}\)

i zacząłem sprawdzać że dla dowolnych \(\displaystyle{ a_1}\) , \(\displaystyle{ a_2}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ a_1 [ \alpha _1 , \alpha _2 ] +a_2 [\beta _1 , \beta _2 ] = [v_1 , v_2]}\)

doszedłem do takiego układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1 \alpha_1 + a_2 \beta_1 = v_1 \\ a_1 \alpha_2 + a_2 \beta_2 = v_2 \end{cases}}\)

Nie wiem jak mam tutaj pokazać że ten uklad ma rozwiązanie jeśli \(\displaystyle{ w_1}\) oraz \(\displaystyle{ w_2}\) są niezależne.

Nie wiem jeszcze co to bazy itp., miałem dopiero 2 wykłady z algebry i muszę to udowodnić w adekwatny sposób.

Macie jakieś pomysły?

[miodzio1988]

Ten układ równan nie jest rownowazny temu
\(\displaystyle{ a_1 [ \alpha _1 , \alpha _2 ] +a_2 [\beta _1 , \beta _2 ] = [v_1 , v_2]}\)

Po poprawce jest.

Kiedy taki układ równan ma rozwiązanie?

[ms7]

To się sprowadza do układu liniowego więc wtedy gdy obie proste nie są równoległe.
Ale nadal nie wiem jak wykorzystać tutaj niezależność.

[yorgin]

Liniowa niezależność oznacza, że wyznacznik główny układu, który wypisałeś, jest niezerowy. Zastanów się, dlaczego tak jest.

Stąd już łatwo wywnioskować, że układ ma rozwiązanie, a więc teza jest prawdziwa.

[ms7]

Doszedłem do czegoś takiego:

Układ równań nie ma rozwiązań tylko wtedy gdy
lub \(\displaystyle{ \beta_1=\alpha_1 \cdot k \wedge \alpha_2=\beta_2 \cdot k \wedge v_2 = v_1 \cdot p}\), gdzie \(\displaystyle{ p \neq k}\)
Z tego wynika że wektory \(\displaystyle{ w_1}\),\(\displaystyle{ w_2}\) musiałyby być równoległe, czyli zależne liniowo.
Z czego wniosek że skoro są niezależne liniowo to układ ma zawsze rozwiązanie.


Czy to będzie poprawny dowód?