Wyznaczyć bazę przestrzeni wspólnej

[Studentka5]

Dla podanych podprzestrzeni V i W przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\) wyznaczyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V \cap W}\)
a) \(\displaystyle{ V=\text{lin} \{(2,3,4,-2), (1,5,-5,-3)\}, W=\text{lin}\{(3,7,2,-5),(1,2,-3,1)\}}\)
b) \(\displaystyle{ V=\text{lin} \{(2,2,1,2), (3,1,2,4)\}, W=\text{lin}\{(1,3,2,5),(2,4,1,3)\}}\)

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać - w a) powinien wyjść związek między wektorami baz obu przestrzeni \(\displaystyle{ 5v_1 + 3v_2-4w_1-w_2=0}\), gdzie \(\displaystyle{ v_1, v_2, w_1, w_2}\) to kolejne wektory podanych baz \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\), i \(\displaystyle{ V \cap W= \text{lin}\{(13,30,5,-19)\}}\), w b) \(\displaystyle{ V \cap W= \text{lin}\{(0,0,0,0)\}}\).

[yorgin]

W obu przypadkach problem sprowadza się do następującego:

Kiedy kombinacja liniowa wektorów z jednej podprzestrzeni jest kombinacją liniową wektorów z drugiej przestrzeni.

W przypadku a) masz więc do stwierdzenia, czy istnieją \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\RR}\) takie, że

\(\displaystyle{ a(2,3,4,-2)+b(1,5,-5,-3)=c(3,7,2,-5)+d(1,2,-,3,1)}\).

Jeżeli istnieją, to ile wynoszą?

Jak się dobrze przyjrzeć, to wystarczy rozwiązać pewien układ równań.