iloczyn skalarny, dowód

[dwukwiat15]

Witam, potrafi ktoś napisać dowód takiej równości związanej z iloczynem skaralnym dwóch wektorów(przy założeniu przestrzeni dwuwymiarowej) \(\displaystyle{ \vec{a} = \left[ x_{1},y_{1}\right]}\), \(\displaystyle{ \vec{b} = \left[ x_{2},y_{2}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a}\right| \left| \vec{b}\right| cos \left( \alpha \right) = x_{1}y_{1} + x_{2} y_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\)
A także ogólnie dla dowolnie wymiarowej przestrzeni skąd wiadomo, że to prawda?

[szw1710]

Iloczyn skalarny nie jest równy iloczynowi długości wektorów. Nie jest więc prawdą równość 1-2. Zobacz np. na dwa wektory prostopadłe. Równości 1-3 dowodzimy łatwo (pomijam strzałki nad wektorami):

Niech \(\displaystyle{ e_1=(1,0),\quad e_2=(0,1)}\). Mamy wtedy

\(\displaystyle{ a=x_1e_1+y_1e_2,\quad b=x_2e_1+y_2e_2}\)

Teraz wystarczy pomnożyć skalarnie korzystając z własności tego iloczynu:

\(\displaystyle{ a\cdot b=x_1x_2e_1\cdot e_1+x_1y_2e_1\cdot e_2+y_1x_2e_2\cdot e_1+y_1y_2e_2\cdot e_2}\)

Z definicji iloczynu skalarnego mamy \(\displaystyle{ e_1\cdot e_1=e_2\cdot e_2=1}\) oraz \(\displaystyle{ e_1\cdot e_2=e_2\cdot e_1=0,}\) Wstawiając to do powyższej równości dostajemy to co trzeba.

[dwukwiat15]

Zapomniałem dodać \(\displaystyle{ cos( \alpha )}\), już poprawiłem. Mi chodziło o co innego. W dziedzinie cyfrowego przetwarzania sygnałów takie operacje jak transformata Fouriera czy transformata falkowa opierają się na operacji iloczynu skalarnego. W jednym artykule znalazłem jak opisują własności tego iloczynu na podstawie jego interpretacji geometrycznej czyli tej z \(\displaystyle{ cos \left( \alpha \right)}\) i chciałem wiedzieć jak udowodnić dla tego przypadku 2d równość z tą wersją sumy iloczynów współrzednych wektorów. Jak to udowodnić?

[szw1710]

Dokładnie tak jak to zrobiłem. Dowody matematyczne nie mają wiele wspólnego z zastosowaniami. Tych doczekują się raczej gotowe twierdzenia. Ale zauważ, że ja też korzystałem z kąta między wektorami. Przecież wartości iloczynów skalarnych między wersorami właśnie z tego wynikają.

[dwukwiat15]

Ok dzięki, przeanalizuję to dokładniej co napisałeś. Mam jeszcze jedno pytanie do ciebie szw1710 z algebrą związane. Jeżeli miałbyś zbiór wektorów M wymiarowych. I masz zrobić normalizację tego zbioru. Cytuję z jednego artykułu: "We assume that the data points have been normalized in each dimension so that their coordiante ranges in each dimension are qual, ie., the data points are bounded by hercube."
Zastanawiam się jak to trakotwać, czy każdy z wektorów podzielić przez jego długość własną czy wszystkie wektory podzielić przez długość najdłuższego wektora ze zbioru? W pierwszym przypadku tracę informację o różnych długosciach i wektory się różnią tylko co do kierunku. W drugim przypadku tak nie jest.

[szw1710]

Tu chodzi o inną normalizację. Bardziej w sensie potocznym. Nie do wektorów jednostkowych. Tak mi to wynika z kontekstu. Znormalizaowć tak, aby zakresy zmienności współrzędnych w każdym wymiarze (obojętnie co by to nie znaczyło - szw1710) są identyczne, tj. punkty zbioru danych leżą w pewnej kostce.

[dwukwiat15]

Mi tutaj chodzi o konkretne rozwiązanie bo piszę w związku z tym program. Chodzi o algorytm klasteryzacjii. Ja to widzę tak, żeby każdy wektor poprostu podzielić przez długość najdłuższego z nich. W ten sposób najdłuższy wektor ma długość = 1. W ten sposób mam zakres zmienności \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\). Co o tym sądzisz? W przeciwnym wypadku jak tego nie zrobię to będę się borykał z błędami numerycznymi, które wychodzą dalej w związku z liczeniem takich wyrażeń jak na przykład \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{16 \cdot \left| \vec{a} - \vec{b}} \right| }}\). Mam inny artykuł w którym pisze ten sam autor: "Without loss of generality, we assume that the data points have been normalized in each
dimension so that they are bounded by a unit hypercube" Co o tym sądzisz?

[szw1710]

Istotę sprawy rozumiem. W analizie numerycznej najgorsze są minusy, tzn. wielokrotne dodawanie i odejmowanie. To generuje błędy. Zawsze można sobie tak wektory przenormować. Ale od klasteryzacji ekspertem nie jestem. Prawdę mówiąc, pierwszy raz słyszę tę nazwę. Ja się tylko trochę znam na matematyce.

[dwukwiat15]

Klasteryzacja to jest własciwie z angielskiego Clustering czyli grupowanie. Chodzi o to, że szuka się skupisk punktów o podobnych cechach.

[szw1710]

Jasne. Jednak w informatykę nie chcę wchodzić, bo zwyczajnie się na niej nie znam. Proponuję wrzucić tę część tematu do działu Informatyka.

[dwukwiat15]

Rozumiem.Co do iloczynu skalarnego to rozumiem, że iloczyn skalarny powinienem rozumieć jak to się w matematyce często robi, pojęcie które spełnia pewne aksjomaty, podobnie jak prawdopodobieństwo czy inne matematyczne twory? A jednym ze sposobów reprezentacji jest ta wersja 2d przestrzeni z cosinusem?

[szw1710]

Zwykle iloczyn skalarny wprowadza się jako dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Straszne, no nie? Stąd i z nierówności Schwarza dostaje się tę reprezentację z cosinusem. Dokładniej, właśnie ta sławna nierówność pozwala nam na wprowadzenie cosinusa kąta między wektorami. I to nie tylko w - jak to mówisz - w 2d czy 3d, ale w każdej abstrakcyjnej przestrzeni unitarnej. Z własności funkcjonału dwuliniowego wynikają prawa działań na iloczynach skalarnych (z grubsza takie same, jak zwykłe działania arytmetyczne na liczbach, mnożenie nawiasów itp.) One z kolei dają nam możliwość wyrażenia iloczynu skalarnego w przestrzeni skończenie wymiarowej przez współrzędne mnożonych wektorów.

Reasumując - w istocie iloczyn skalarny można wprowadzić aksjomatycznie. Można też praktycznie. Sam na lekcji fizyki w LO poznalem go właśnie przez wzór "cosinusowy". Tyle, że najpierw trzeba wiedzieć, czymże jest ten kąt między wektorami. I jeżeli w 2d czy 3d kąt widać na odpowiednich półprostych, to konia z rzędem temu, kto wyjaśni sens geometryczny np. kąta pomiędzy funkcjami \(\displaystyle{ f(x)=x}\) i \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ L_2[0,1]}\) (kąt ten to ok. \(\displaystyle{ 0.0044^{\circ}}\), czyli te funkcje są "niemal" prostopadłe).

[dwukwiat15]

No tak, głębokie słowa Jakieś uzasadnienie jednak to dla mnie jest Ja właściwie dlatego chciałem to wiedzieć bo piszę rozdział o przekształceniu falkowym, które się opiera własciwie na iloczynie skalarnym i właśnie od tego powinienem myślę wyjść . To co piszesz to pojęcia z analizy funkcjonalnej . Tutaj o iloczynie skalarnym w kontekście tego co ja potrzebuję, napisane ciekawie, tak raczej po inżyniersku ... ml#bsos_xr

Generalnie tak jak tam piszą to mi się podoba, że iloczyn skalarny bada podobieństwo dwóch wektorów? Jeżeli wartość iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest większa co do modułu to rozumiem, że dwa wektory są bardziej do siebie podobne w sensie kierunku i długości?

[szw1710]

Nie za bardzo. Weź sobie dwa wektory z jakimś dowolnym kątem (powiedzmy ostrym) i wydłużaj jeden z nich. Iloczyn będzie coraz większy, a wektory nie są bynajmniej "podobne". Na razie nie mam czasu czytać, w jakim sensie rozważa się tam "podobieństwo".

[dwukwiat15]

No tak ale inaczej się chyba sprawa ma jak jeden z wektorów ma długość jednostkową?