iloczyn skalarny, dowód

[szw1710]

Też nie. Jeśli oba mają tę samą długość, to ponieważ \(\displaystyle{ \cos 0=1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\cos x=1}\), to zmierzanie iloczynu skalarnego do kwadratu długości wektorów oznacza zmierzanie wektorów do siebie. Podobnie, jeśli iloczyn skalarny zmierza do iloczynu długości, to wektory zmierzają do równoległości.

[dwukwiat15]

No tak rozumiem niemniej jednak iloczyn skalarny w zastosowaniu do podobieństwa jest użyteczny w tym sensie, że mam jakiś oryginalny sygnał czyli ciąg próbek, który jest traktowany jako wektor, porównywany jest z innym wzorcowym sygnałem, który ma normę jednostkową. Teraz jeżeli ja będę zmieniał ten wzorcowy sygnał to wówczas tym iloczynem będę badał podobieństwo pomiędzy oryginałem a tym wzorcem w zmienionej formie( ale zawsze norma jest jednostkowa tego wzorcowego). Na przykład transformata Fouriera jest takim narzędziem, który bada podobieństwo pomiędzy sygnałem oryginalnym a \(\displaystyle{ sin}\) i \(\displaystyle{ cos}\) o różnych częstotliwościach, w ten sposób bada się z jakich częstotliwości się sygnał badany składa. Zdefiniowana jest tak:
\(\displaystyle{ X\left( m\right) = \sum_{n=0}^{N-1} X \left( n \right) \left[ \sin \left( \frac{2 \pi n m}{N} \right) - j \cos \left( \frac{2 \pi n m}{N} \right) \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ X \left( n \right)}\) jest sygnałem o liczbie \(\displaystyle{ N}\) próbek i tym samym traktowany jest jako wektor. I z tego co ja rozumiem, to ten sygnał wzorcowy jak widać ze wzoru ma zawsze jednostkową normę czyli inaczej jak to się mówi w języku algebry stanowi bazę ortonormalną.

[matmatmm]

szw1710, twoje uzasadnienie, że \(\displaystyle{ |x||y|\cos \alpha=x_1y_1+x_2y_2}\) wydaje mi się trochę niewystarczające. Jeśli dobrze zrozumiałem, to podałeś najczęszciej stosowany sposób wprowadzania iloczynu skalarnego i kąta między wektorami, czyli taki, w którym kąt definiujemy za pomocą iloczynu skalarnego. Jest to w stu procentach poprawne, jednak, przynajmniej dla mnie, nie wyjaśnia to, że faktycznie otrzymamy cosinus, który rozumiemy przez stosunek długości przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Pojawia się tu od razu problem, jak formalnie zdefiniować funkcje trygonometryczne w sposób, który będzie odpowiadał temu rozumieniu. Można to zrobić w obrębie aksjomatów Hilberta, ale można też patrzeć na szkic dowodu, który zaraz podam, poglądowo.

Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą wektorami swobodnymi na płaszczyźnie. Zdefiniujmy sobie \(\displaystyle{ x\cdot y=|x||y|\cos \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między nimi. Najpierw należy udowodnić, że taka funkcja jest dwuaddytywna i jednorodna. Następnie bierzemy układ współrzędnych o wersorach \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) i niech \(\displaystyle{ x,y}\) mają współrzędne odpowiednio \(\displaystyle{ (x_1,x_2), (y_1,y_2)}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\cdot y=(x_1e_1+x_2e_2)\cdot(y_1e_1+y_2e_2)}\). Korzystamy teraz z udowodnionej wcześniej dwuaddytywności, jednorodności oraz z \(\displaystyle{ e_1\cdot e_1=e_2\cdot e_2=1,e_1\cdot e_2=e_2\cdot e_1=0}\).

Kluczowy jest dowód tej dwuaddytywności i jednorodności. To powienien być dowód geometryczny, gdzie odwołujemy się właśnie do definicji cosinusa z trójkątem prostokątnym. Tu widać zasadniczą różnicę od podejścia szw1710, gdzie dwuaddytywność i jednorodność są dane od razu aksjomatem.

[szw1710]

Owszem, pozwoliłem sobie założyć istnienie iloczynu skalarnego i to tego standardowego, w którym wektory \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) są prostopadłe i mają długość jednostkową. Jak jednak wystartujesz z kątem w \(\displaystyle{ L_2}\)? To podejście odwołuje się do naszej intuicji. Powiem tak: każde z podejść ma swoje zalety i wady.