Macierz formy kwadratowej w bazie

[gnb21]

Witam,
mam problem z następującym zadaniem.

Wyznaczyć macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ f(x,y)= x^2 - y^2}\) w bazie \(\displaystyle{ e_1= (1.2), e_2=(1,-1)}\).

Wyznaczyłem macierz w standardowych bazach.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]}\)

i zapisuje ją w danej bazie
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right]}\)

Dobrze kombinuje?

[dr Wieslaw Zajiczek]

Utwórz macierz przejścia \(\displaystyle{ \beta}\) do bazy \(\displaystyle{ \left( e_1,e_2\right)}\), układając te wektory w kolumny .
Wtedy jeżeli oznaczymy przez \(\displaystyle{ g =\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]}\),
to macierz formy kwadratowej w bazie \(\displaystyle{ \left( e_1,e_2\right)}\) to \(\displaystyle{ g' = \beta^Tg\beta}\).

[gnb21]

\(\displaystyle{ \beta = \left[\begin{array}{cc}1&1\\2&-1\end{array}\right]}\)

Więc

\(\displaystyle{ g'= \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\2&-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-3&3\\3&0\end{array}\right]}\)

Dziękuje za pomoc