Niech \(\displaystyle{ X = L \left( \left[\begin{array}{ccc}2\\1\\1\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}-1\\0\\2\end{array}\right] , \left[\begin{array}{ccc}1\\1\\3\end{array}\right] \right)}\)
a) Wyznaczyc \(\displaystyle{ \mbox{dim }X}\).
b) Wyznaczyc baze \(\displaystyle{ X}\).
c) Wyznaczyc rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ x = \left[\begin{array}{ccc}2&2&1\end{array} \right]^{T}}\) na podprzestrzen \(\displaystyle{ X}\) i obliczyć odległosc wektora \(\displaystyle{ x}\) od podprzestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2014, o 23:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Przestrzenie liniowe
a) Sprawdź, ile z wymienionych wektorów jest liniowo niezależnych. Ich liczba to wymiar \(\displaystyle{ X}\).
b) Wybierz z danych wektorów tyle liniowo niezależnych, ile wynosi wymiar wyliczony w poprzednim podpunkcie.
c) Zortogonalizuj bazę \(\displaystyle{ X}\) a następnie zastosuj wzorki na rzut ortogonalny i odległość od przestrzeni.
b) Wybierz z danych wektorów tyle liniowo niezależnych, ile wynosi wymiar wyliczony w poprzednim podpunkcie.
c) Zortogonalizuj bazę \(\displaystyle{ X}\) a następnie zastosuj wzorki na rzut ortogonalny i odległość od przestrzeni.
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Przestrzenie liniowe
Ustawmy wektory generujące \(\displaystyle{ X}\) w macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 &1 &1 \\-1& 0 &2 \\ 1& 1& 3\end{bmatrix}}\)
Macierz tę sprowadzam do postaci schodkowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \mbox{dim }X = 2.}\)
baza \(\displaystyle{ X}\) to np. \(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1, 0, -2 \right] ^T, \left[ 0, 1, 5 \right] ^T \right\}}\)
\(\displaystyle{ X}\) jest płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ 2x - 5y + z = 0}\)(można uzyskać to równanie korzystając ze wzoru wyznacznikowego płaszczyzny przezchodzącej przez 3 niewspółliniowe punkty \(\displaystyle{ \left( 1,0,-2 \right) , \left( 0,1,5 \right) , \left( 0,0,0 \right) \right)}\)
Skorzystam ze wzoru \(\displaystyle{ b = proj_X b + proj_{X^{\perp}} b}\)
\(\displaystyle{ X^{\perp} = L \left( a \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a = \left[ 2,-5,1 \right] ^T}\) to wektor normalny płaszczyzny X
Niech \(\displaystyle{ b = \left[ 2,2,1 \right] ^T}\)
\(\displaystyle{ proj_{X^{\perp}} b = \frac{ \left( b|a \right) }{ \left( a|a \right) } a = - \frac{1}{6} \cdot \left[ 2,-5, 1 \right] ^T}\)
\(\displaystyle{ proj_X b = b - proj_{X^{\perp}} b = \left[ \frac{7}{3} , \frac{7}{6} , \frac{7}{6} \right] ^T}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 &1 &1 \\-1& 0 &2 \\ 1& 1& 3\end{bmatrix}}\)
Macierz tę sprowadzam do postaci schodkowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \mbox{dim }X = 2.}\)
baza \(\displaystyle{ X}\) to np. \(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1, 0, -2 \right] ^T, \left[ 0, 1, 5 \right] ^T \right\}}\)
\(\displaystyle{ X}\) jest płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ 2x - 5y + z = 0}\)(można uzyskać to równanie korzystając ze wzoru wyznacznikowego płaszczyzny przezchodzącej przez 3 niewspółliniowe punkty \(\displaystyle{ \left( 1,0,-2 \right) , \left( 0,1,5 \right) , \left( 0,0,0 \right) \right)}\)
Skorzystam ze wzoru \(\displaystyle{ b = proj_X b + proj_{X^{\perp}} b}\)
\(\displaystyle{ X^{\perp} = L \left( a \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a = \left[ 2,-5,1 \right] ^T}\) to wektor normalny płaszczyzny X
Niech \(\displaystyle{ b = \left[ 2,2,1 \right] ^T}\)
\(\displaystyle{ proj_{X^{\perp}} b = \frac{ \left( b|a \right) }{ \left( a|a \right) } a = - \frac{1}{6} \cdot \left[ 2,-5, 1 \right] ^T}\)
\(\displaystyle{ proj_X b = b - proj_{X^{\perp}} b = \left[ \frac{7}{3} , \frac{7}{6} , \frac{7}{6} \right] ^T}\)
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2014, o 17:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.