Udowodnić nierówność Schwarza
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 00:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Drzewica
- Podziękował: 8 razy
Udowodnić nierówność Schwarza
\(\displaystyle{ |\langle x,y \rangle |\leqslant ||x||*||y|| \\ x,y U \\ U-p. \ unitarna}\)
Ostatnio zmieniony 24 maja 2007, o 23:50 przez radkow, łącznie zmieniany 1 raz.
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Udowodnić nierówność Schwarza
Przypuszczam, że masz na myśli rzeczywistą przestrzeń unitarną (w zespolonej nierówność Schwarza ma postać: \(\displaystyle{ \big|\mbox{Re}\langle x,y\rangle\big|\le\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}\); w postaci, którą podałeś nie musi być prawdziwa...)
Zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 0\,\le\, \Vert x+ty\Vert^2\,=\, \langle x+ty,x+ty\rangle\, =\, \langle x,x\rangle + \big(\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle\big)t+\langle y,y\rangle t^2}\)
Zatem wyróżnik kwadratowy powyższego r-nia musi być niedodatni, tj.
\(\displaystyle{ 0\ \ 4\cdot\langle x,y\rangle^2\,-\,4\cdot\Vert x\Vert^2\cdot\Vert y\Vert^2}\)
i już
Zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 0\,\le\, \Vert x+ty\Vert^2\,=\, \langle x+ty,x+ty\rangle\, =\, \langle x,x\rangle + \big(\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle\big)t+\langle y,y\rangle t^2}\)
Zatem wyróżnik kwadratowy powyższego r-nia musi być niedodatni, tj.
\(\displaystyle{ 0\ \ 4\cdot\langle x,y\rangle^2\,-\,4\cdot\Vert x\Vert^2\cdot\Vert y\Vert^2}\)
i już
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 00:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Drzewica
- Podziękował: 8 razy
Udowodnić nierówność Schwarza
A można nie w liczbach zespolonych tylko normalnie? Gadałem dzisiaj z facetką od ćwiczeń i mówiła, że trzeba opuścić sprzężenia czy jakoś tak.